Renormierungstheorie und die Berechnung von Quantenkorrekturen

d.h. das Integral ist formal divergent. Da der Wert des Integrals für große
Werte von k 2 E mit der zweiten Potenz der Integrationsvariablen k E wächst,
spricht man hier von quadratischer Divergenz.
Man definiert das Integral zunächst durch eine Regularisierung, z.B. durch
einen cut-off:
|k E | < Λ. (5.12)
Das Integral (5.11) ist dann endlich und kann explizit berechnet werden:
−iΠ(p 2 ,M0 2 ) = − iλ ∫ Λ 2
0
32π 2
= (−i)
0
dk 2 E
k 2 E
(
λ 0
32π 2 Λ 2 − M0 2 ln
kE 2 + M2 0
( Λ 2 − M0
2 ))
M 2 0
(5.13)
Der Cut-off-Parameter Λ sei so gewählt, dass er großgegenüber allen physikalischen
Skalen (→ M 0 ) ist, so dass wir in dem Verhältnis M 0
Λ
entwickeln
können. Wir erhalten dann das folgende Resultat für die Selbstenergie in
der φ 4 -Theorie:
(
( ))
−iΠ(p 2 ,M0 2 ) = −i λ 0
32π 2 Λ 2 − M0 2 Λ2 M
4
ln
M0
2 + O 0
Λ 2 . (5.14)
Mit der Zwei-Punkt-Funktion bzw. der Selbstenergie Π erhält man aus der
Bedingung
M 2 − M 2 0 − Π(p 2 = M 2 ,M 2 0) = 0 (5.15)
die physikalische Masse
M 2 = M0 2 + λ (
0
32π 2 Λ 2 − M0 2 Λ2
ln
M0
2
)
+ ... + O(λ 2 0 ). (5.16)
Außerdem folgt für die (on-shell) Feldrenormierungskonstante
Z =
1
1 − ∂Π
∂p 2 ∣
∣p 2 =M 2 = 1 + O(λ 2 0). (5.17)
An dieser Stelle wollen wir die Resultate dieses einführenden Kapitels kurz
festhalten und überlegen, wie diese zu interpretieren sind. Wir haben festgestellt,
dass die Selbstenergie eines (punktförmigen) skalaren Teilchens (für
Λ → ∞) quadratisch divergent ist. Insbesondere gilt dies auch für die Relation
M = M(M 0 ,λ 0 ) zwischen der physikalischen und der nackten Masse.
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