Renormierungstheorie und die Berechnung von Quantenkorrekturen

Unter Verwendung von (̸p −m)u(p,s) = 0 werden wir den Zähler nun systematisch
vereinfachen. Auf diese Weise können wir die Zahl der γ-Matrizen
in den einzelnen Ausdrücken reduzieren, so dass viele Terme proportional zu
γ µ entstehen. Zusätzlich können wir alle Terme mit ungeraden Potenzen von
k weglassen, da diese bei der Integration verschwinden. Man erhält zunächst
Zähler ∼ ( 2p ′ ν − γ ν (xy̸p + xȳ̸p ′ ) ) γ µ ( 2p ν − (xy̸p + xȳ̸p ′ )γ ν
)
− γν̸kγ µ̸kγ ν .
(5.217)
Nach der Integration über k muss der letzte Term proportional zur Metrik
g ρσ sein, d.h. er ist von der Form
γ ν γ ρ γ µ γ σ γ ν g ρσ ∝ γ ν γ ρ γ µ γ ρ γ ν ∝ γ µ , (5.218)
und kann somit weggelassen werden. Weiter folgt
Unter Verwendung von
Zähler ∼ 2̸p(xy̸p + xȳ̸p ′ )γ µ − 2γ µ (xy̸p + xȳ̸p ′ )̸p ′
+ γ ν (xy̸p + xȳ̸p ′ )γ µ (xy̸p + xȳ̸p ′ )γ ν . (5.219)
̸p̸p ′ γ µ = 2p · p ′ γ µ − ̸p ′̸p γ µ = 2p · p ′ γ µ − 2mp µ + m 2 γ µ ∼ −2mp µ , (5.220)
was zwischen ū(p ′ ,s ′ )...u(p,s) gilt, erhält man
Zähler ∼ 4mxȳp µ + 4mxyp ′ µ + (xy) 2 γ ν̸pγ µ̸pγ ν
+ (xȳ) 2 γ ν̸p ′ γ µ̸p ′ γ ν + x 2 yȳ(γ ν̸pγ µ̸p ′ γ ν + γ ν̸p ′ γ µ̸pγ ν ). (5.221)
Die verbleibenden Objekte betrachten wir separat:
γ ν̸pγ µ̸pγ ν ∼ 2p 2 γ µ − mγ ν̸pγ µ γ ν ∼ −8mp µ + mγ ν γ µ̸pγ ν
∼ −8mp µ + 2m̸pγ µ ∼ −4mp µ , (5.222)
γ ν̸pγ µ ̸p ′ γ ν ∼ 2p µ γ ν̸p ′ γ ν − γ ν γ µ̸p̸p ′ γ ν ∼ −4mp µ + γ ν γ µ̸p ′̸pγ ν
∼ −4mp µ − mγ ν γ µ̸p ′ γ ν + 2̸pγ µ̸p ′ + 2̸pγ µ̸p ′
∼ −4mp µ − 8mp ′ µ + mγν̸p ′ γ µ γ ν + 4mp ′ µ − 2̸p̸pγ
µ
∼ −4mp µ − 4mp ′ µ + 2mγµ̸p ′ + 2m̸pγ µ
∼ 0, (5.223)
γ ν̸p ′ γ µ̸pγ ν ∼ 2̸p̸p ′ γ µ − mγ ν̸p ′ γ µ γ ν ∼ −2m̸pγ µ − 2mγ µ̸p ′
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