Renormierungstheorie und die Berechnung von Quantenkorrekturen

A µ 0 (x) ≡ √ Z 3 A µ (x), (5.108)
m 0 ≡ Z m m , (5.109)
e 0 ≡ Z e e, (5.110)
ξ 0 ≡ Z ξ ξ . (5.111)
Es ist a priori nicht klar, dass nur e 0 reskaliert wird und nicht auch e ψ ,
d.h., dass die Reskalierung der Kopplung von ψ abhängt. Später werden wir
sehen, dass dies nicht der Fall ist.
Wir drücken nun L wie üblich durch die reskalierten Größen aus und spalten
die Z i in Z i = 1 + (Z i − 1) auf. Da alle Z i von der Form Z i = 1 + O(e 2 )
sind, ist Z i − 1 proportional zur Kopplungskonstanten e, weshalb wir die
entsprechenden Terme als Wechselwirkungsterme behandeln. Dies führt auf
folgende Form der Lagrange-Dichte:
L = − 1 4 Z 3 (∂ µ A ν − ∂ ν A µ ) (∂ µ A ν − ∂ ν A µ ) − Z 3
Z ξ
1
2ξ (∂ µA µ ) (∂ ν A ν )
+Z 2 ¯ψ i̸∂ ψ − Z2 Z m m ¯ψψ + Z e Z 2
√
Z3 e ¯ψ ̸Aψ
= − 1 4 F µνF µν − 1 2ξ (∂ µA µ ) (∂ ν A ν ) + ¯ψ (i̸∂ − m + e̸A) ψ
− 1 ( )
4 (Z 3 − 1) F µν F µν Z3 1
− − 1
Z ξ 2ξ (∂ µA µ ) (∂ ν A ν )
+ (Z 2 − 1) ¯ψ i̸∂ ψ − (Z 2 Z m − 1) m ¯ψψ +
( √ )
Z e Z 2 Z3 − 1 e ¯ψ ̸Aψ
≡ L r + L ct . (5.112)
L r bezeichnet wieder den Teil der Lagrange-Dichte, welcher in den reskalierten
Größen dieselbe funktionale Form wie (5.106) hat und L ct die Lagrange-
Dichte der Gegenterme (“counterterms”). Wie bereits erwähnt, wird L ct
zusammen mit e ¯ψ ̸Aψ aus L r als Wechselwirkungsanteil L int aufgefasst.
An dieser Stelle wollen wir folgendes festhalten:
• Im Verlauf dieses Kapitels werden wir zeigen, dass
Z 3
Z ξ
− 1 = 0, Z e Z 2
√
Z3 = Z 2 . (5.113)
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