Renormierungstheorie und die Berechnung von Quantenkorrekturen

Die Tatsache, dass der kµkν
-Term den Koeffizienten ξ
k 2 0 zu allen Ordnungen
behält, hat direkte Konsequenzen für die Renormierungskonstanten. Im onshell
Schema ist Z 3 so zu bestimmen, dass die renormierte Zwei-Punkt-
Funktion in der Nähe des Teilchenpols bei k 2 = M 2 = 0 die Form des freien
Photon-Propagators annimmt, d.h.
G 0 µν
k 2 →0
−→ Z 3 ·
i
k 2 + iε
(
−g µν + (1 − ξ) k )
µk ν
k 2 +[nicht singuläre Terme] .
(5.125)
Aus Vergleich mit der allgemeinen Form (5.124) liest man für die Renormierungskonstanten
Z 3 = A(k 2 = 0), (5.126)
Z ξ = Z 3 (5.127)
ab. (5.127) garantiert, dass die Zwei-Punkt-Funktion der renormierten Felder,
ausgedrückt durch den renormierten Eichparameter ξ = (Z ξ ) −1 ξ 0 , nahe
dem Pol dieselbe Form wie die freie Zwei-Punkt-Funktion annimmt. Aus der
Tatsache, dass der ξ 0 -Term aufgrund der Ward-Identität in der Störungstheorie
nicht modifiziert wird folgt also, dass die beiden Renormierungskonstanten
Z 3 und Z ξ zu allen Ordnungen identisch sind.
Zur weiteren Analyse führen wir wieder die Photon-Selbstenergie Π (0)µν ,
auch als Photonvakuumpolarisation bezeichnet, als die Einteilchen-irreduziblen
Anteile der (unrenormierten) Zwei-Punkt-Funktion ein, so dass
G 0 µν =
p
+ p
1PI + p
1PI 1PI + ...
=
(
i
k 2 −g µν + (1 − ξ 0 ) k ) (
µk ν i
+ iε
k 2 +
k 2 −g µρ + (1 − ξ 0 ) k )
µk ρ
+ iε
k 2
× iΠ (0)ρσ (k)
(
i
k 2 −g σν + (1 − ξ 0 ) k )
σk ν
+ iε
k 2 + ... (5.128)
Die Photonvakuumpolarisation kann nun selbst in die allgemeinst-möglichen
Lorentzstrukturen zerlegt werden, wobei, genau wie im Fall der Zwei-Punkt-
Funktion, Π (0)µν als Tensor zweiter Stufe nur von den beiden Strukturen g µν
und k µ k ν abhängen kann. Wir definieren also
Π (0) µν (k) ≡ ( k 2 g µν − k µ k ν
)
Π0 (k 2 ) + k µ k ν Π 2 (k 2 ). (5.129)
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