Renormierungstheorie und die Berechnung von Quantenkorrekturen

Eine störungstheoretische Entwicklung von ˆΓ µ 0 führt auf
j µ + ... .
̂Γ =
j µ +
j µ +
Bis auf das letzte Diagramm stimmt das durch (5.163) definierte Objekt
̂Γ µ 0 mit der gesuchten Vertex-Funktion überein, allerdings verallgemeinert
auf den Fall p 2 ,p ′2 ≠ m 2 . Das letzte Diagramm ist jedoch proportional zu
q 2 g µν −q µ q ν (vgl. (5.134)) und fällt bei der Multiplikation mit q µ heraus. Dies
gilt für alle Diagramme dieses Typs. Die Identifikation von ̂Γ µ 0 in (5.163) mit
der Vertex-Funktion Γ µ 0 gilt also nur für q µ̂Γ µ 0 . Nur dies wird im Folgenden
benötigt.
Um die in (5.163) auftretende Dreipunktfunktion in Beziehung zur Zweipunkt-Funktion
des Fermionfeldes zu setzen verwenden wir nun die Ward-
Identität für den Strom (2.318) in der Form:
∂ (x)
µ 〈Ω|T( j µ 0 (x)ψ 0α(z 1 ) ¯ψ 0β (z 2 ) ) |Ω〉
= δ (4) (x − z 1 ) 〈Ω|T ( ψ 0α (z 1 ) ¯ψ 0β (z 2 ) ) |Ω〉
− δ (4) (x − z 2 ) 〈Ω|T ( ψ 0α (z 1 ) ¯ψ 0β (z 2 ) ) |Ω〉. (5.164)
Wie in Kapitel 2.4 kann diese Ward-Identität auch direkt abgeleitet werden.
Dazu verwendet man zunächst die Definition des zeitgeordneten Produkts
und erhält
∂ (x)
µ 〈Ω|T ( j µ 0 (x)ψ 0(z 1 ) ¯ψ 0 (z 2 ) ) |Ω〉
= ∂ (x)
µ 〈Ω|( θ(x 0 − z 0 1 )θ(z0 1 − z0 2 )jµ ψ ¯ψ − θ(x 0 − z 0 2 )θ(z0 2 − z0 1 )jµ ¯ψψ
+ θ(z 0 1 − x 0 )θ(x 0 − z 0 2)ψj µ ¯ψ − θ(z
0
2 − x 0 )θ(x 0 − z 0 1) ¯ψj µ ψ
+ θ(z 0 1 − z 0 2)θ(z 0 2 − x 0 )ψ ¯ψj µ − θ(z 0 2 − z 0 1)θ(z 0 1 − x 0 ) ¯ψψj µ) |Ω〉
(5.165)
Da im Pfadintegral-Formalismus das T-Produkt immer als T ∗ -Produkt zu
verstehen ist, kann man die Ableitung in den Vakuumerwartungswert hineinziehen.
Berücksichtigt man zusätzlich die Erhaltung des Stromes, d.h.
∂ µ j µ = 0, so folgt
∂ (x)
µ 〈Ω|T( j µ 0 (x)ψ 0(z 1 ) ¯ψ 0 (z 2 ) ) |Ω〉
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