Renormierungstheorie und die Berechnung von Quantenkorrekturen

5.2.2 Z e – Definition der physikalischen Kopplung und die
Struktur der Vertexfunktion
Wie üblich müssen wir zunächst eine Bedingung formulieren, welche die
renormierte Ladung definiert. Aus Kap. 5.1 ist uns aber bekannt, dass die
Wahl einer solchen Bedingung nahezu beliebig ist.
Physikalisch versteht man unter der elektromagnetischen Ladung bzw. der
Feinstrukturkonstanten die Stärke der Wechselwirkung eines Photons mit
einem Elektron, beispielsweise bei der Thomson-Streuung. Üblicherweise ist
die Energie des Photons, welches an einem Elektron gestreut wird, sehr
viel kleiner als die relevanten Skalen der QED (→ Elektronmasse). Es liegt
deshalb nahe, die physikalische Ladung als die Stärke der Elektron-Photon-
Kopplung bei kleinem Impulsübertrag ⃗q ≪ m durch die Bedingung
〈e − (p ′ ,s ′ )γ(q,λ); out|e − (p,s); in〉
q µ →0
≡ (2π) 4 δ (4)( p ′ + q − p ) ieū(p ′ ,s ′ )γ µ u(p,s)ε ∗ µ (q,λ) (5.143)
zu definieren. Wir verlangen also, dass das Matrixelement (5.143) zu allen
Ordnungen der Störungstheorie diesselbe Form wie in niedrigster Ordnung
hat. Dies definiert die Renormierungskonstante Z e .
Nach dem LSZ-Theorem ist ein Matrixelement der Form (5.143) mit der
amputierten Drei-Punkt-Funktion verknüpft. Im on-shell Schema erhält man
〈e − (p ′ ,s ′ )γ(q,λ); out|e − (p,s); in〉
= √ Z 3 Z 2 · amp
q
p p ′
[ ]
∣ · Spinoren und Polarisationsvektoren
unrenormiert
= (2π) 4 δ (4)( p ′ + q − p ) √
Z3 Z 2 ie 0 ū(p ′ ,s ′ )Γ µ 0 (p′ ,p)u(p,s)ε ∗ µ(q,λ)
(5.144)
Das Objekt Γ µ 0 bezeichnet man als die (unrenormierte) Vertexfunktion. In
niedrigster Ordnung gilt
Γ µ 0 (p′ ,p) =
q
p p ′
+ O(e 2 ) = γ µ + O(e 2 ). (5.145)
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