Renormierungstheorie und die Berechnung von Quantenkorrekturen

Skalenabhängige Parameter und Renormierungsschemata
Bisher hatten wir die Feldrenormierungskonstante Z und die renormierte
Masse M stets aus dem Residuum bzw. dem Pol der Zwei-Punkt-Funktion
bestimmt. Um zu verdeutlichen, dass es sich dabei um die on-shell Feldrenormierungskonstante
und die physikalische Masse handelt, werden wir
diese Größen im Folgenden mit Z OS bzw. M phys bezeichnen.
Man kann jedoch allgemeinere Renormierungsbedingungen stellen, indem
man z.B. in (5.74) statt 0 einen anderen Wert festlegt oder einen Wert nicht
bei p 2 = M 2 vorgibt. Dies bedeutet nur eine Reparametrisierung der Theorie
durch anders normierte Felder und Parameter. Die einzige Forderung die
man an Z und M stellen muss ist die Berechenbarkeit der Zwei-Punkt-
Funktion. Wir schreiben also:
φ 0 = √ Z OS φ OS = √ Z φ, (5.83)
M 2 0 = M 2 phys + δM2 phys = M 2 + δM 2 . (5.84)
Jede dieser Gleichungen definiert einen Zusammenhang zwischen den renormierten
und den nackten Größen, welche verwendet werden können um die
physikalische Masse als Vorhersage der Theorie durch die Parameter M und
λ auszudrücken. Dabei ist die Relation
stets endlich und berechenbar.
M phys = M phys (M,λ) (5.85)
Bei der Berechnung von Streumatrixelementen sind dann zusätzlich folgende
Punkte zu beachten:
Z OS
Z
• Man muss – unabhängig von den Renormierungsbedingungen – weiterhin
G amp on shell, d.h. bei p 2 = Mphys 2 berechnen.
(√ ) n
• Man muss G amp mit multiplizieren, um die Streuamplituden
gemäßdem LSZ-Theorem zu erhalten, wenn man mit den nicht
on-shell renormierten Feldern φ arbeitet.
Ein sehr gebräuchliches Schema, wenn man die dimensionale Regularisierung
verwendet, ist das MS-Schema (“modifizierte minimale Subtraktion”). In
diesem werden die in den Gegentermen auftretenden Größen δ Z , δ M und δ λ
so bestimmt, dass sie nur die divergenten Polterme in ǫ enthalten.
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