Renormierungstheorie und die Berechnung von Quantenkorrekturen

k 0
q
k 0 = − ⃗k 2 +M
0 2 + iε
q
⃗k 2 +M0 2 − iε = k0
Für das Integral einer Funktion f(k 2 ) erhält man dann
∫
d 4 k f(k 2 ) =
∫ ∞
−∞
dk 0 ∫
d 3 ⃗ k f(k 2 ) =
∫ +i∞
−i∞
dk 0 ∫
d 3 ⃗ k f(k 2 ), (5.7)
wobei vorausgesetzt werden muss, dass f(k 2 ) im Unendlichen schnell genug
verschwindet. Nun nehmen wir die Umbenennungen ⃗ k E = ⃗ k und k 0 E = −ik0
vor und definieren k 2 E ≡ k0 E2 + ⃗ kE 2 = −k 2 . Dies entspricht einem Skalarprodukt
mit euklidischer Metrik, d.h. k E ist ein euklidischer Vierervektor.
Damit folgt aus (5.7)
∫
d 4 k f(k 2 ) = i
∫ ∞
dkE
0
−∞
∫
∫
d 3 ⃗ k f(−k
2
E ) = i
d 4 k E f(−kE 2 ). (5.8)
Unter Verwendung der Wick-Rotation geht das Schleifenintegral (5.5) in
∫ d 4 k E
i
(2π) 4
i
−kE 2 − M2 0 + iε = −iλ ∫
0 d 4 k E
2
−iΠ(p 2 ,M0 2 ) = −iλ 0
1
2
(2π) 4 kE 2 + M2 0
(5.9)
über, wobei die iε-Vorschrift jetzt weggelassen werden kann, da der Nenner
nie nahe bei Null ist. Aufgrund der kE 2 -Abhängigkeit des Integranden ist es
zweckmäßig, sphärische Koordinaten einzuführen, d.h.
∫ ∫ ∞ ∫
d 4 k E = dkE
2 1
2 k2 E dΩ (4) . (5.10)
0
Die Oberfläche einer vierdimensionalen Kugel ∫ dΩ (4) ist 2π 2 , so dass
−iΠ(p 2 ,M0) 2 = − iλ ∫ ∞
0
32π 2
0
dk 2 E
k 2 E
k 2 E + M2 0
= ∞, (5.11)
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