Renormierungstheorie und die Berechnung von Quantenkorrekturen

Zur Berechnung der amputierten Green-Funktionen müssen Diagramme mit
Selbstenergiekorrekturen an den äußeren Beinen nicht berücksichtigt werden,
da dieser Effekt bereits in M 2 und Z enthalten ist.
Exkurs: Massendimension von Feldern und Kopplungskonstanten in der dimensionalen
Regularisierung
Zur Behandlung von Schleifenintegralen in der dimensionalen Regularisierung
ist es notwendig, die Theorie in d Dimensionen zu formulieren. Dies
beeinflusst die Massendimension der in der Lagrange-Dichte auftretenden
Objekte. Da die Wirkung S weiterhin im Exponenten des Pfadintegrals
steht, muss sie dimensionslos sein. Schreibt man sie allerdings als Raumintegral
über die Lagragne-Dichte, d.h.
e iS = e i R d d x L , (5.45)
so ist dieses Raumintegral nun d-dimensional. Dies hat zur Folge, dass die
Lagrange-Dichte die Massendimension d haben muss. Folglich gilt dies auch
für die kinetischen Terme, d.h.
[∂ µ φ 0 ∂ µ φ 0 ] = d,
[ ¯ψ̸∂ψ
]
= d. (5.46)
Wie zuvor ist [∂ µ ] = 1 und [m] = 1, so dass man für die Massendimensionen
der Felder abliest
[skalares Feld] = [Vektorfeld] = d 2 − 1, [
Spin-
1
-Feld] 2
= d − 1 . (5.47)
2
Damit können wir nun die Dimension der Kopplung in der φ 4 -Theorie bestimmen.
Als Teil der Lagrange-Dichte hat der Wechselwirkungsterm die
Massendimension d, so dass
( )
[
λ0 φ 4 ] d
0 = d =⇒ [λ0 ] = d − 4
2 − 1 = 4 − d = 2ǫ, (5.48)
d.h. die unrenormierte Kopplung ist in d Dimensionen dimensionsbehaftet.
(4)
Wir wenden uns nun der Berechnung der in ˜G amp auftretenden Schleifenintegralen
zu. Unter Verwendung der dimensionalen Regularisierung sind diese
von der Form
(
k 2 − M 2 0 + iε) ( (P + k) 2 − M 2 0
˜µ 4−d ∫ d d k
(2π) d 1
+ iε)
. (5.49)
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