Renormierungstheorie und die Berechnung von Quantenkorrekturen

Der Term proportional zu k ν k ρ ergibt keinen Beitrag zu F 2 . Da die äußeren
Linien on-shell sind, gilt (̸p − m)u(p,s) = 0, und wir können beispielsweise
schreiben
(̸p − ̸k + m)̸k u(p,s) = (̸p − ̸k + m) (−[̸p −̸k] + m) u(p,s)
= ( −(̸p −̸k) 2 + m 2) u(p,s) = ( −(p − k) 2 + m 2) u(p,s). (5.211)
Analog kann man mit k ν verfahren, so dass nur γ µ übrig bleibt. Im nächsten
Schritt vertauschen wir γ ν mit ̸p ′ bzw. γ ν mit ̸p und erhalten
∫ d
∼ −ie 2 4 k 1 ū(p ′ ,s ′ )(2p ′ν − γ ν̸k)γ µ (2p ν − ̸kγ ν ) u(p,s)
(2π) 4 k 2 + iε [(p ′ − k) 2 − m 2 + iε] [(p − k) 2 − m 2 + iε] .
(5.212)
Nun verwenden wir die on-shell Bedingungen p 2 = m 2 bzw. p ′2 = m 2 , um
den Nenner wie folgt zu vereinfachen:
(p − k) 2 − m 2 = p 2 − 2p · k + k 2 − m 2 = −2p · k + k 2 (5.213)
und entsprechend für den anderen Faktor. Die Einführung von Feynman-
Parameter führt dann auf den folgenden Ausdruck:
(5.212) = −2ie 2 ∫ 1
0
∫
dxdy x
d 4 k
(2π) 4
× ū(p′ ,s ′ )(2p ′ν − γ ν̸k) γ µ (2p ν − ̸kγ ν ) u(p,s)
(xy(k 2 − 2p · k) + xȳ(k 2 − 2p ′ · k) + ¯xk 2 ) 3 . (5.214)
Im Nenner ergänzen wir zunächst quadratisch und verwenden anschließend
−2p · p ′ = q 2 − 2m 2 , so dass
k 2 − 2xy p · k − 2xȳp ′ · k
= (k − xyp − xȳp ′ ) 2 − (xy) 2 m 2 − (xȳ) 2 m 2 − 2x 2 yȳp · p ′
= (k − xyp − xȳp ′ ) 2 + x 2 yȳ q 2 − x 2 (y + ȳ) 2 m 2 (5.215)
Nach der Variablentransformation k → k + xyp + xȳp ′ nimmt das Schleifenintegral
die folgende Form am:
∫ 1 ∫
(5.214) = −2ie 2 dxdy x
0
d 4 k ū(p ′ ,s ′ )(2p ′ν − γ ν (̸k + xy̸p + xȳ̸p ′ ))
(2π) 4 (k 2 + x 2 yȳ q 2 − x 2 (y + ȳ) 2 m 2 ) 3
× γ µ ( 2p ν − (̸k + xy̸p + xȳ̸p ′ )γ ν
)
u(p,s). (5.216)
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