Renormierungstheorie und die Berechnung von Quantenkorrekturen

Regularisierung ab. Berechnet man nun Zusammenhänge zwischen physikalischen
Observablen und drückt diese durch die Größen M und λ aus, so
sind diese Relationen unabhängig von der Regularisierung, d.h.
f Obs = f Obs (M,λ). (5.18)
Bei Kenntnis von M und λ liefern diese Relationen Vorhersagen der Theorie.
Die nackten Parameter M 0 ,λ 0 sind dann nur Hilfsgrößen. Wenn diese Hypothese
bzw. Interpretation richtig ist, kann man beliebige Regularisierungen
wählen. Man wählt dann diejenige, für die die Rechnungen (Integrale) am
einfachsten sind.
5.1.2 Regularisierungsmethoden und Feynman-Parameter
Um die verschiedenen Regularisierungsmetheoden zu illustrieren, betrachten
wir das Integral
∫
A(a;∆) ≡
d 4 k 1
(2π) 4
(k 2 − ∆ + iε) a Wick-
Rotation
= (−1) a i
∫ d 4 k E
(2π) 4 1
(
k
2
E
+ ∆ ) a ,
(5.19)
welches typischerweise bei Einschleifendiagrammen auftritt. Für a ≤ 2 ist
das Integral offensichtlich divergent.
Cut-off Regularisierung
Wie zuvor beschränken wir bei der cut-off-Regularisierung den Betrag des
euklidischen Vierervektors k E nach oben durch einen Abschneidepararmeter
Λ, welcher groß gegenüber allen auftretenden externen Skalen zu wählen ist.
Da der Integrand nur von kE 2 abhängt, empfiehlt sich die Einführung von
sphärischen Koordinaten, d.h.
so dass das Integral (5.19) in
∫
∫ Λ 2
d 4 k E → π 2 dkE 2 k2 E , (5.20)
∫
A(a,∆) = (−1)a i Λ 2
(4π) 2
0
0
dk 2 E
k 2 E
(
k
2
E
+ ∆ ) a. (5.21)
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