Über Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des ...

5 Zustände ausschließlich radialer Bewegung
Sei nun also (u, v) eine physikalische Lösung in dem Sinne, dass die zugehörige
polytrope radiale Lösung y eine beschränkte Ausdehnung, endliche Masse sowie
endliche kinetische und potentielle Energie aufweist. In diesem Fall ist für ein
beliebiges ˜t 2 R die Funktion (ũ, ṽ) =(u, v) `. + ˜t´ ebenfalls eine physikalische
Lösung. Für die zugehörigen Lösungen von (5.6) gilt somit
ỹ(r) :=ũ(ln r) =u `ln
“ “
r + ˜t´ ”” “ ”
= u ln re˜t
= y re˜t
. (5.31)
Ist nun R>0 der Radius von y, d.h.gilty(R) =0,soist ˜R := e ˜t R der Radius
der Lösung ỹ. FürdieMassengiltdieBeziehung
˜m(r) =
Z r
0
= e ˜t
4⇡s 2 ⇢ (ỹ(s)) ds =
Z re˜t
0
Z r
0
ỹ n +(s) ds (5.32)
y n +(s) ds = e ˜t m(re ˜t ). (5.33)
Insbesondere gilt für die Gesamtmassen entsprechend ˜M = e ˜t M und folglich
˜M
M = ˜R
R , (5.34)
womit gezeigt ist, dass alle Zustände im Massen-Radius-Diagramm auf einer
Ursprungsgeraden liegen. Insbesondere existiert genau eine physikalische Lösung
mit einer vorgegebenen Masse oder einem vorgegebenem Radius.
96