Über Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des ...

1.2 Sphärische Symmetrie und Konstruktion stationärer Lösungen
Da wir im Folgenden ausschließlich sphärisch symmetrische Massenverteilungen
betrachten, und somit keine Verwechslungsgefahr besteht, bezeichnen
wir obiges System wieder schlicht als Vlasov-Poisson-System (VPS). Der zuvor
definierte Lösungsbegriff impliziert in kanonischer Weise einen Lösungsbegriff
für dieses System, so dass wir zunächst weiterhin schlicht von Lösungen des
VPS sprechen werden. Das von uns im Folgenden betrachtete Verfahren zur
Konstruktion stationärer Lösungen liefert jedoch in natürlicher Weise auch Zustände,
die keinen klassischen Lösungen im Sinne von Definition 1.1 entsprechen.
Gegen Ende des Kapitels werden wir uns diesem Sachverhalt noch einmal
widmen, einen angepassten Lösungsbegriff definieren und den Zusammenhang
zu Lösungen wie in Definition 1.1 klären.
Ein Ansatz für die Phasenraumdichte
Für die Konstruktion stationärer Lösungen des VPS sind insbesondere zwei
Verfahren von größerer Bedeutung:
Eine Möglichkeit besteht in der Betrachtung geeigneter Variationsprobleme,
bei welchen stationäre Lösungen als minimierende Elemente sogenannter
Energie-Casimir-Funktionale auftreten. Ein Vorteil dieses Verfahrens besteht
darin, dass man für die gewonnenen stationären Lösungen auch gewisse Stabilitätsaussagen
erhält, wobei die Energie-Casimir-Funktionale als Lyapunov-
Funktionen dienen. In [18] konnte G. Rein mit Hilfe dieser Methode etwa die
Stabilität gewisser sphärisch symmetrischer, stationärer Lösungen gegenüber
allgemeinen Störungen nachweisen. Um Aussagen über Familien stationärer
Lösungen zu treffen, ist diese Methode jedoch zu wenig explizit.
Daher verwenden wir in dieser Arbeit ein anderes Verfahren. Es basiert darauf,
dass Lösungen (f,U) des VPS längs Lösungen des charakteristischen Systems
der Vlasov-Gleichung
die Partikel-Energie
ẋ = v, ˙v = U 0 (r) x r ,
E = E(x, v) = 1 2 v2 + U(r)
und (im Falle sphärischer Symmetrie) den Drehimpuls erhalten; Gleiches gilt
folglich für das Betragsquadrat des Drehimpulses
L = L(x, v) =|x ⇥ v| 2 .
Bis auf gewisse technische Voraussetzungen genügt also jede Funktion f(x, v) =
(E,L) der Vlasov-Gleichung, so dass mit einem solchen Ansatz für die Phasenraumdichte
lediglich noch die Potentialgleichung zu lösen bleibt. Wir interessieren
uns in dieser Arbeit vor allem für die in der Literatur häufiger
anzutreffenden Modelle:
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