Über Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des ...

4 Spiralen im (R, M)-Diagramm
eine Fundamentalmatrix des homogenen Systems. Mittels Variation der Konstanten
findet man für ⇠(t), t 2 [t 0, ¯t ], dieDarstellung
Z t
„ (t/ )
i⌫
«
0 1
⇠(t) =
t 0
0 (t/ ) i⌫ ·
|z( )| a( , (z + |z|⇠)( )) d , (4.86)
woraus sich direkt die Abschätzung
|⇠(t)| apple
apple
apple
Z t
t 0
Z t
C ˛
˛(z + |z|⇠)( )˛˛2 d
|z( )|
d
C|z( )|`1+|⇠( )|´2
t 0
„ « µ
d
|z 0|`1+|⇠( )|´2
t 0
Z t
t 0
C
apple C|z 0|`1+k⇠k 1´2
, (4.87)
für alle t 2 [t 0, ¯t ] ergibt, wobei k⇠k 1 = max t2[t0 ,¯t ] |⇠(t)|. ManhältnunC
vorübergehend fest und verlangt ohne Einschränkung ˜ < 1 .Angenommen
4C
für z 0 2 B˜(0) gilt
M := {t 2 [t 0, ¯t ] ||⇠(t)| < 1} 6= [t 0, ¯t ] (4.88)
definiert man ˜t = min([t 0, ¯t ] \ M). Aufgrund der Stetigkeit von |⇠| wäre in
diesen Fall |⇠(˜t )| =1. Nach (4.87) gilt jedoch
|⇠(˜t )| apple C|z 0|`1+k⇠k 1´2
apple 4C|z 0| < 1 , (4.89)
ein Widerspruch. Damit ist M =[t 0, ¯t ] und die Funktion |⇠| ist auf [t 0, ¯t ] für
Anfangswerte z 0 2 B˜(0) gleichmäßig in t 0 beschränkt. Damit ist die Aussage
des Lemmas gezeigt.
78