Über Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des ...

3 (R,M)-Diagramme Polytroper Lösungen
5
4
l=-k-1/2
l= k-3/2
Graphen im (R, M)-Diagramm in Abb. 3.2
Graphen im (R, M)-Diagramm in Abb. 3.3
3
l
2
1
0
-1
-1 0 1 2 3 4 5
Abbildung 3.1: Darstellung des Parameterraums der polytropen Parameter k
und l.
k
Wir interessieren uns nun für die Form dieser Graphen. Wie man aus (3.7)
sofort abliest, lässt in den Spezialfällen k = 1 l bzw. k = 3 +l jede Transformation
(3.1), (3.2), 2 R, denRadiusbzw.dieMasseunverändert.Zusammen
2 2
mit der Aussage des Satzes 3.1 folgt, dass alle polytropen Lösungen der Typen
1
(k, l) bzw. (k, 3 + l) denselben Radius bzw. dieselbe Masse besitzen. Im
2 2
(R, M)-Diagramm ergeben sich Parallelen zur M- bzw.R-Achse.
Für k 6= 1 l kann der Parameter eliminiert werden, und man erhält
2
den funktionalen Zusammenhang
M(R) = C( ˜R, ˜M)
2(k l) 3
R
2(k+l)+1
. (3.8)
Der Zusammenhang M = M(R) ist dabei streng monoton wachsend genau
dann, wenn der Exponent positiv ist, d.h. im Falle l1/2
oder l< k 1/2 für kk 3/2 und l> k 1/2, soistdie
Abbildung streng monoton fallend.
In Abbildung 3.1 sieht man eine schematische Darstellung des Parameterraums.
Im geschwärzten Bereich existieren keine Polytrope mit endlichem Radius.
Für Paare (k, l) innerhalb des weißen Bereichs erhält man (R, M)-Diagramme
mit streng monoton wachsenden Graphen, wohingegen Polytrope eines
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