Über Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des ...

2 Beschränkte Ausdehnung, endliche Masse
2.3 Anwendung auf das relativistische Vlasov-Poisson-System
Ein Modell, welches im Rahmen der Kinetik auch relativistische Effekte berücksichtigt,
ist das sogenannte relativistische Vlasov-Poisson-System. Die Newtonsche
Beschreibung der gravitativen Wechselwirkung wird beibehalten, so dass
im Vergleich zum Vlasov-Poisson-System lediglich die Vlasov-Gleichung durch
die im Hinblick auf die Bewegungsgleichungen der Speziellen Relativitätstheorie
angepasste Version
v
p ·rxf rU ·rvf =0
1+|v|
2
ausgetauscht wird. Definiert man in diesem Fall die Partikelenergie durch
E = E(x, v) = p 1+|v| 2 + U(x),
so sind E und L entlang Trajektorien offenbar wieder erhalten. Wie zuvor lösen
Ansätze für die Phasenraumdichte der Form (1.11) die Vlasov-Gleichung. Setzt
man in der vorliegenden Situation y = E 0 U 1, sokanndiezulösende
Poisson-Gleichung unter Ausnutzung der Symmetrie wieder auf ein Problem
der Form
y 0 (r) =
m(r) = 4⇡c Z r
l 2+2l g(y( ))d , r > 0, (2.9)
r 2 r 2 0
mit c l =2⇡c l,
1/2 zurückgeführt werden, wobei
g(y) =
(R y
0
(E)(1 + y E) `(1 + y E) 2 1´l+1/2 dE, y > 0,
0, y apple 0.
Analog zum Vlasov-Poisson-System ist (2.9) äquivalent zu einem Problem der
Form (2.4) mit q =1und K l (y) =4⇡c l g(y). FüreineAnwendungunseres
Kriteriums bleibt die Stetigkeit der Funktion g nachzuweisen.
Wir betrachten beispielsweise einen Ansatz für die Phasenraumdichte wie in
(1.11) mit l> 1 sowie 2 C(R + , R + ) mit
0 < (E) apple CE k 1
, 0 < E < 1 C ,
für geeignete Konstanten k 1 >
1 und C>0. Schreibenwirg in der Form
g(y) =y
Z 1
0
(y )(1 + y(1 )) [y(1 )(2 + y(1 )] l+1/2 d , (2.10)
so erkennt man leicht, dass der stetige Integrand in einer geeigneten Umgebung
eines jeden y > 0 eine in y gleichmäßige integrierbare Majorante der
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