Ãber Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des ...
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1.2 Sphärische Symmetrie und Konstruktion stationärer Lösungen<br />
Das Gravitationspotential<br />
Setzen wir die durch (1.23) gegebene Darstellung der räumlichen Dichte in<br />
die bereits einmal integrierte Version der Poisson-Gleichung in (VPS) ein, so<br />
erhalten wir für das Potential die gewöhnliche Integrodifferentialgleichung<br />
U 0 (r) = 4⇡c l<br />
r 2<br />
Z r<br />
0<br />
2+2l g 1<br />
2<br />
+l<br />
(E0 U( )) d , r > 0, (1.24)<br />
zusammen mit der Nebenbedingung<br />
lim U(r) =0. (1.25)<br />
r!1<br />
Wie G. Rein und A. Rendall in [20] zeigen, besitzt die Gleichung (1.24) für<br />
die hier betrachteten Ansätze zu beliebigen Anfangswerten U(0) = U 0 2 R<br />
eine eindeutig bestimmte maximale Lösung auf R + 0 .Dazustelltmanzunächst<br />
mit Hilfe eines einfachen Kontraktionsargumentes fest, dass eine lokale Lösung<br />
auf einem Intervall [0, ] existiert. Nun kann man aufgrund der Monotonie o.E.<br />
annehmen, es existiere ein R>0 mit U(r) E 0, r R, dasonstdieLösung<br />
bereits global existiert. In diesem Fall folgt die globale Existenz jedoch<br />
aufgrund der Beschränktheit der rechten Seite. Offenbar existiert insbesondere<br />
der Grenzwert lim r!1 U(r) < 1 und es gilt U 2 C 1 (R + 0 ) mit U 0 (0) = 0.<br />
Bekanntlich besitzt der absolute Wert <strong>des</strong> Gravitationspotentials in der Newtonschen<br />
Theorie für die Dynamik <strong>des</strong> Systems keinerlei Bedeutung. Dieser<br />
Sachverhalt spiegelt sich für die von uns gewählte Methode zur Konstruktion<br />
stationärer Lösungen folgendermaßen wider:<br />
Seien wie in (1.11) und (1.12) mit E 0 2 R sowie U die Lösung von Gleichung<br />
(1.24) zu einem Anfangswert U(0) = U 0 2 R. DasPaar(f,U) mit einer<br />
Phasenraumdichte der Form f(x, v) = ( 1 2 v2 + U(x),L) besitze die Eigenschaften<br />
einer klassischen Lösung <strong>des</strong> VPS bis auf den geforderten Grenzwert<br />
<strong>des</strong> Potentials für |x| !1. Definieren wir nun für ein beliebiges Ẽ0 2 R die<br />
Funktionen<br />
Ũ(x) =U(x) E 0 + Ẽ0, x 2 R3 , (1.26)<br />
und<br />
˜f(x, v) =<br />
(<br />
(Ẽ0 1<br />
2 v2 Ũ(x))L l ,<br />
0 ,<br />
1<br />
2 v2 Ũ(x) < Ẽ0 ,<br />
1<br />
2 v2 Ũ(x) Ẽ 0 ,<br />
(1.27)<br />
so genügt das Paar ( ˜f,Ũ) ebenfalls den Differentialgleichungen <strong>des</strong> Vlasov-<br />
Poisson-Systems und beschreibt zudem denselben physikalischen Zustand, denn<br />
offenbar gelten f = ˜f und rU = rŨ. 15
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