Über Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des ...

5.1 Lösungsbegriff und Existenz von Lösungen
Da die Lösungen y bis auf das Vorzeichen und eine additive Konstante dem
Potential U einer sphärisch symmetrischen Massenverteilung entsprechen, verlangen
wir von diesen Monotonie. Darüber hinaus sollten die resultierenden
Raumdichten endliche Masse und endliche kinetische wie potentielle Energie
besitzen.
Im Hinblick auf die Lösbarkeit des durch (5.6) und (5.7) gegebenen Anfangswertproblems
beweisen wir nun zunächst das
Lemma 5.2. Die Gleichung (5.6) besitzt zu beliebigen Anfangswerten (5.7)
eine eindeutig bestimmte maximale radiale Lösung mit Existenzintervall R + .
Beweis. Für Funktionen x, y 2 C 2 (I), r 0 2 I ⇢ R + offenes Intervall, mit
x(r) :=ry(r) ist das Anfangswertproblem (5.6), (5.7) äquivalent zu
x 00 = ↵ “ x
”
r g 1 , r > 0 , (5.12)
2 r
x(r 0)=x 0 := r 0y 0, x 0 (r 0)=x 0 0 := r 0y 0 0 + y 0 . (5.13)
Die rechte Seite von (5.12) ist nach Lemma 1.4 stetig, und lokal Lipschitz-stetig
bezüglich x auf {x >0}. InsbesondereisteineLösungx : I ! R von (5.12),
(5.13) auf {r 2 I | x(r) > 0} lokal eindeutig. Wegen x 00 apple 0 ist x konkav und auf
I := {r 2 I | x(r) < 0} sogar linear. Angenommen es existiert ein ˜r 0. Dax 2 C 2 (I)
und linear für rr 0. Demnach sind Lösungen zum gegebenen Anfangswertproblem bis auf
Fortsetzung eindeutig bestimmt.
Sei nun x : I ! R die eindeutig bestimmte, maximale Lösung des Anfangswertproblems
(5.12), (5.13). Da x linear auf I ist, gilt für r 2 I insbesondere
x 0 (r ) > 0 ) ]0,r ] ⇢ I ⇢ I,
x 0 (r ) < 0 ) [ r , 1 [ ⇢ I ⇢ I.
Sei nun I =]a, b[.Angenommena>0,sogiltnachObigemx(r) > 0, a