Über Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des ...

2 Beschränkte Ausdehnung, endliche Masse
Die Autoren bemerken, dass mit Hilfe dieses Resultats auch Modelle des
Wilson-Typs behandelt werden könnten, da für diese n(y) ! 7/2, y ! 0, gilt.
Wie bereits festgestellt, gilt darüber hinaus für Polytrope Lösungen eines
Typs (k, l) wie in (1.9) stets n(y) =k +3/2, y 2 R + , so dass hier auch für
die durch Satz 2.1 nicht abgedeckten Polytrope mit k>l+3/2 eine Aussage
über die Endlichkeit von Masse und Radius getroffen wird. Allerdings gilt für
die Plummer-Modelle (d.h. Polytrope des Typs (7/2, 0)) n(y) =5, y 2 R + .
Wie bereits erwähnt, sind diese jedoch räumlich unendlich ausgedehnt. Diese
sind somit ein Gegenbeispiel für die Aussage des Satzes im Falle der Gleichheit
n(y) =5+3l. VordiesemHintergrundscheintauchdieGültigkeitderohnehin
überraschenden Aussage des lokalen Resultats für den Fall der Polytrope mit
k = l +3/2 eher in Zweifel zu stehen.
Im folgenden Abschnitt formulieren und beweisen wir nun zunächst unser
Kriterium, bevor wir in drei weiteren Abschnitten mögliche Anwendungen
für die Fälle des Vlasov-Poisson-, des relativistischen Vlasov-Poisson- und
des Einstein-Vlasov-Systems demonstrieren. Wie wir zeigen werden, lässt sich
für jeden dieser Fälle ein zu (1.36), (1.37) ähnliches Problem formulieren. Genügen
dann die der Funktion g l+1/2 entsprechenden Funktionen bestimmten
Voraussetzungen, so garantiert unser Kriterium für alle zugehörigen sphärisch
symmetrischen, stationären Lösungen eine endliche Masse und eine endliche
Ausdehnung. Für die Fälle des Vlasov-Poisson- und Einstein-Vlasov-Systems
zeigen wir, dass wir die Aussagen aus [20] mit unserem Kriterium ebenfalls erhalten,
und diese darüber hinaus noch leicht verallgemeinern können. Dasselbe
gilt auch für das lokale Resultat aus [8] bis auf die zuvor diskutierte Aussage
am oberen Rand.
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