Über Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des ...

4 Spiralen im (R, M)-Diagramm
(4.16) dem Gleichungssystem in (S1 ")zusammenmitderNebenbedingung
(ii) genügt. Mit ↵ 2 C 1 (R + ) ergibt sich die angegebene Regularität
auf ]1, 1[.
Aufgrund der Stetigkeit von p und ⇢ in y =0und r = r(y) ! 0, y ! y 0,
gilt (v 1,v 2) ! 0 für X ! 1. Mit Hilfe des Mittelwertsatzes ergibt sich
v 2(X(r))
v 1(X(r))
↵("X) = 4⇡r3 p(r)
m(r)
und mit der ersten Gleichung von (S1 ")
8⌘ >0 9 1 > 0 8X 2 ]1, 1+ 1[:
Durch Integration erhält man
p(r)
⇢(r) ! 2pc
⇢ c
=2↵(") , r ! 0 ,
X dv1
dX
v 1(X) < (2↵(")+⌘)(X 1) , X 2 [1, 1+ 1[ .
2 B⌘(2↵(")) . (4.23)
Die analoge Aussage für v 2 erhält man durch Betrachtung der zweiten
Gleichung von (S1 ")mitpassendem 2 > 0. AusderStetigkeitvon v i(X)
, X 1
i =1, 2, aufR + erhält man schließlich die Nebenbedingung (i).
Asymptotisches Verhalten. Auf der anderen Seite folgen aus (4.23) und der
analogen Beziehung für v 2 die folgenden asymptotischen Darstellungen:
v 1(X) = 2↵(")(X 1) + o(X 1) , X ! 1 , (4.24)
v 2(X) = 6↵ 2 (")(X 1) + o(X 1)
= 3↵(")v 1(X)+o(v 1(X)) , X ! 1 . (4.25)
Dies gilt es nun weiter zu präzisieren. Aufgrund von ↵ 2 C 1 (R + ) gilt für
beliebige ">0
↵("X) = ↵(")+"↵ 0 (")(X 1) + o(X 1)
= ↵(")+O(X 1) , X ! 1 . (4.26)
Wir untersuchen nun den asymptotischen Rest von v 2 in (4.25). Sei also
⇠(X) = v 2(X) 3↵ "v 1(X) , X 1 ,
und ↵ " = ↵("), sogelangtmanunterVerwendungderGleichungenaus
(S1 ")zuderDarstellung
Z X
1 » –
v 2( )
⇠(X) =
1 v 1( ) 2↵(" ) v2( ) v 2( )
3↵" v 1( ) +3↵"↵(" ) d
Z X
»
–
= O((X 1) 2 v 2( ) d
)+ ↵ "
1 v 1( ) +3↵2 "
Z X
» –
= O((X 1) 2 ↵ "
)+
⇠( ) d , X ! 1 .
v 1( )
1
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