Über Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des ...

KAPITEL 4
SPIRALEN IM (R, M)-DIAGRAMM
Nicht für alle Ansätze für die Phasenraumdichte besteht zwischen Masse und
Radius der zugehörigen stationären Lösungen ein monotoner Zusammenhang.
Eine numerische Untersuchung wie im letzten Kapitel legt für Ansatzfunktionen
der Typen Woolley-Dickens, King und Wilson die Vermutung nahe,
dass Masse und Radius der erhaltenen Lösungen für wachsende Zentraldichten
bzw. -drücke gegen einen festen Wert konvergieren und dabei einer Spiralbahn
um den vermuteten Grenzwert folgen. Abbildung 4.1 zeigt exemplarisch das
(R, M)-Diagramm für Lösungen des King-Typs; die Abbildungen 4.2 und 4.3
der (R, M)-Diagramme zu den Lösungen der Typen Woolley-Dickens und Wilson
finden sich auf den Seiten 70 und 71.
Wir werden in diesem Kapitel einen Beweis der soeben skizzierten Vermutung
für Ansatzfunktionen der Phasenraumdichte der Typen Woolley-Dickens
und King angeben. Für einen vollständigen Beweis der analogen Aussage für
den Ansatz vom Wilson-Typ fehlen Aussagen, wonach die zugehörigen Lösungen
– zumindest für eine hinreichend hohe Zentraldichte – einen kompakten
Träger besitzen. Sollte es in Zukunft gelingen, Aussagen dieser Art zu beweisen,
so liefert der von uns angegebene Beweis die gewünschte Aussage ohne
Änderungen auch für diesen Fall.
Im Bezug hierauf bemerken wir noch das Folgende: Für Energien in der
Nähe von E 0 werden die Ansätze der Form (1.10) im Wesentlichen von den
Termen niedrigster Ordnung bestimmt. In diesem Sinne bezeichnet man sie
daher auch als asymptotisch polytrop. Die Darstellungen 4.1, 4.2 und 4.3 zeigen
neben den (R, M)-Kurven der betrachteten Ansätze auch die (R, M)-Kurven
der zugehörigen polytropen Lösungen. Es fällt auf, dass die Spiralen bzgl. der
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