Ãber Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des ...
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5.1 Lösungsbegriff und Existenz von Lösungen<br />
mit<br />
J "(E) =<br />
Z 2r<br />
2 (E<br />
0<br />
U(r))<br />
q<br />
1<br />
! " (L)dL<br />
L<br />
2r 2 (E U(r))<br />
, E 2 ]U(r),E 0[. (5.4)<br />
Zur Untersuchung <strong>des</strong> Grenzübergangs " ! 0 betrachten wir nun zunächst<br />
ein gegebenes Potential U 2 C 1 (R + ) und ohne Einschränkung r>0 fest mit<br />
U(r) 1 gilt<br />
“ ”<br />
J "(E) = a(E) Z "<br />
a(E)<br />
! a(E)<br />
"<br />
p d<br />
"<br />
1<br />
apple 2 a(E)k!k1<br />
"<br />
„<br />
1<br />
1<br />
= 2k!k 1 q<br />
1+ 1<br />
apple 2k!k 1,<br />
r<br />
1<br />
"<br />
a(E)<br />
wohingegen man für a(E)/" apple 1 die Abschätzung<br />
J "(E) = a(E)<br />
"<br />
Z 1<br />
0<br />
apple 2 a(E)k!k1<br />
"<br />
apple 2k!k 1<br />
“<br />
a(E)<br />
"<br />
!<br />
p 1<br />
”<br />
«<br />
"<br />
a(E)<br />
erhält. Mittels majorisierter Konvergenz erhält man folglich<br />
8<br />
>< 2 ⌫+1 Z<br />
2 ⇡ y(r)<br />
(E)(y(r) E) ⌫ 1<br />
I ⌫,"(r) ! I ⌫,0(r) := r<br />
>:<br />
2<br />
2 dE , y(r) > 0,<br />
0<br />
0 , y(r) apple 0,<br />
= 2 ⌫+1<br />
2 ⇡<br />
g<br />
r 2 ⌫ 1 (y(r)), " ! 0, (5.5)<br />
2<br />
d<br />
83
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