Über Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des ...

1 Vorbereitungen
Zu (f,U) wie zuvor sei nun
U 1 := lim
r!1 U(r),
so gilt im Allgemeinen natürlich U 1 6= 0,d.h.dasPaar(f,U) ist keine (klassische)
Lösung des VPS. Wählen wir nun
Ẽ 0 = E 0 U 1,
und betrachten das Paar ( ˜f,Ũ) aus (1.26), (1.27), so gilt offenbar
lim Ũ(x) =0,
|x|!1
und das Paar ( ˜f,Ũ) ist eine (klassische) Lösung des VPS.
Wir stellen also fest, dass zur Konstruktion stationärer Lösungen des VPS
die Nebenbedingung (1.25) zunächst außer Acht gelassen werden kann, da die
Lösungen dieser nach einer geeigneten Transformation genügen. Darüber hinaus
wird die Phasenraumdichte und damit auch das Gravitationsfeld einzig von der
Differenz E 0 U(r) bestimmt; die entscheidende Größe ist also die Differenz
des Potentials zur Abschneideenergie. Definieren wir
y(r) =E 0 U(r), (1.28)
so ist das zu betrachtende Anfangswertproblem (1.24), U(0) = U 0 0 offenbar äquivalent darstellbar in der Form
y 0 (r) =
m(r) = 4⇡c l
r 2 r 2
Z r
0
2+2l g 1
2
+l
(y( )) d , y(0) = y0, (1.29)
und es gilt:
Zu y 0 > 0 beliebig besitzt das Anfangswertpoblem für die von uns betrachteten
Ansätze für die Phasenraumdichte eine eindeutig bestimmte Lösung
y 2 C 1 (R + 0 ) mit
lim y(r) =:y1 > 1.
r!1
Setzen wir in diesem Fall E 0 = y 1,soerhaltenwirmit
U(r) =y 1 y(r), r 2 R + 0 , (1.30)
eine Lösung von Gleichung (1.24) zur Nebenbedingung (1.25).
Die Abbildungen 1.1 und 1.3 zeigen einige typische Lösungen des Anfangswertproblems
(1.29) sowie die zugehörigen Lösungen der Gleichung (1.24) zur
Nebenbedingung (1.25). Der folgende Abschnitt beschäftigt sich nun mit der
Frage, unter welchen Voraussetzungen an die Ansatzfunktionen die wie beschrieben
erhaltenen Lösungen der Gleichung (1.24) zur Nebenbedingung (1.25)
zu (klassischen) Lösungen (f,U) des VPS führen.
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