Über Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des ...

4.3 Ein Transformationslemma
Beweis des Satzes 4.9. Seien a 0,Aund a 2 wie angegeben, so existiert zu (4.57)
nach Lemma 4.10 für 0 < ¯t 0 hinreichend
klein so, dass invertierbar ist auf [0, ¯t ]. DesWeiterensei ˜ eine Lösung von
t d ˜
dt = A(0) · ˜ + 1 (t) · b 2(t, (t) ˜ )
| {z }
=: c 2 (t, ˜ )
auf einem Intervall I ⇢ ]0, ¯t ], dannist = · ˜ mit
t d dt
= t d( · ˜ )
= t d dt dt · ˜ + · t d ˜
dt
= ( B(t) · + · B(0)) · ˜
“
+ · A(0) · ˜ + 1 (t) · b 2(t, (t) ˜ ”
)
(4.91)
Lösung von (4.90) auf I. Nach Taylor erfüllt c 2 in Gleichung (4.91) die Voraussetzung
(V2), so dass nach Lemma 4.12 eine Konstante ˜ >0 sowie eine
Funktion 2 existieren, so dass für jede Lösung z eines Anfangswertproblems
t dz
dt
= A(0) · z, z(t 0)=z 0 2 B˜(0) , (4.92)
t 0 2 ]0, ¯t[, aufdemIntervallI =[t 0, ¯t ] die Funktion ˜ (t) =z(t)+ 2(t; t 0,z 0),
t 2 I, Gleichung(4.91)löst.ZusammenergibtsichdieBehauptungdesSatzes.
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