Über Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des ...

2 Beschränkte Ausdehnung, endliche Masse
Für den Fall polytroper Ansätze (1.9) kann ein einfacher Zusammenhang
zwischen Dichte und Potential angegeben werden; dort gilt
g 1/2+l (y) =
womit sich nach (1.23)
Z y
0
E k (y
= y k+l+3/2 Z 1
0
E) l+1/2 dE
⇢(r) = c l c k,l+1/2 r 2l y k+l+3/2
+ (r)
k (1 ) l+1/2 d , y 0, (2.1)
ergibt. Eingesetzt in die Poissongleichung ergeben sich die bekannten Emden-
Fowler-Gleichungen, womit basierend auf einer Arbeit von G. Sansone [21] die
Frage, welche Ansätze für die Phasenraumdichte zu Lösungen endlicher Masse
und Ausdehnung führen, in einer Arbeit von J. Batt, W. Faltenbacher und
E. Horst für die Polytrope vollständig beantwortet werden konnte [3]. Demnach
besitzen polytrope Lösungen des Typs (k, l) eine beschränkte Ausdehnung
genau dann, wenn k3l +7/2 alle nicht-trivialen Lösungen eine unendliche Gesamtmasse
besitzen.
Interessanter Weise ist es für den Spezialfall (k, l) =(7/2, 0) möglich, die
Lösungen explizit anzugeben, weswegen gerade die räumlich unbeschränkten
polytropen Lösungen dieses Typs in der Astronomie häufig als Modelle für
Kugelsternhaufen verwendet werden. Sie werden hier meist mit dem Namen
H. C. Plummer in Verbindung gebracht, der sie 1911 in diesem Zusammenhang
erstmals als Modell vorschlug [15].
Einen allgemeineren Ansatz verfolgen G. Rein und A. Rendall in [20]. Sie untersuchen
ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen, welches dem Gleichungssystem
in (S1 ") aus Kapitel 4 ähnelt. Übertragen auf die von uns verwendete
Notation beweisen sie das folgende Resultat:
Satz 2.1. Seien k> 1 und l> 1 mit k +l + 1 > 0 und k 0
(E) = c E k + + O(E k+
+ ), für E!0, (2.2)
gilt. Sei (f,U) eine sphärisch symmetrische, stationäre Lösung des VPS zum
Ansatz , dann besitzt der Zustand kompakten Träger und endliche Gesamtmasse.
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