Über Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des ...

4 Spiralen im (R, M)-Diagramm
Dichte geht dies wiederum mit entsprechend steigenden Zentraldichten einher.
Zur Formulierung unserer Resultate verwenden wir im Folgenden die Bezeichnungen
" y0 = 1
p(y 0) = 3
2 7/2 ⇡g 3/2 (y 0) , y0 2 R+ , (4.4)
und
( )=
„ «
cos( ) sin( )
, 2 R. (4.5)
sin( ) cos( )
Ein Schlüsselelement unseres Beweises der Spiralstruktur des (R, M)-Diagramms
besteht in der Bestimmung passender Anfangswerte
(r 0,m 0)=(r, m)(ỹ 0; y 0)
in einem Punkt ỹ 0 > 0 zu Lösungen des Gleichungssystems (4.1) unter der
Nebenbedingung (4.2) mit y 0 > ỹ 0. Wir formulieren nun zunächst das betreffende
Resultat. Die darin beschriebenen Anfangswerte weisen bereits eine Spiralstruktur
auf. Im nächsten Abschnitt zeigen wir, dass diese bei Fortsetzung
der zugehörigen Lösungen bis zum Rand (d.h. bis y =0)erhaltenbleibt.
Satz 4.1. Seien g 1/2 und g 3/2 wie in (1.13) zu einem Ansatz der Phasenraumdichte
des Typs Woolley-Dickens, King oder Wilson und (r, m) =(r, m)( . ; y 0)
die Lösung von (4.1) unter der Nebenbedingung (4.2). In diesem Fall existieren
ȳ 0 > ỹ 0 > 0 sowie ˜r 0, ˜m 0 > 0, ˜# 2 R 2 \{0}, # 2 C `]ȳ 0, 1[, R 2´ und
⇥ 2 GL(2, R) so, dass für y 0 > ȳ 0 die Identität
mit
gilt.
„ r
m
«
(ỹ 0; y 0) =
„ ˜r0
˜m 0
«
+ " 1/4
y 0
⇥
„ p
7
4 ln("y 0)
«
“ ”
· ˜# + # (y0)
(4.6)
#(y 0) 2 B | ˜#|/2
(0) , y0 > ȳ0, (4.7)
Einen Beweis der Aussage geben wir in Abschnitt 4.2 an; tatsächlich wird
dieser den größten Teil des Kapitels beanspruchen.
Die im Satz auftretenden Größen " y0 und y 0 verbindet offenbar ein streng
monotoner Zusammenhang mit " y0 ! 0 für y 0 !1.DiebeschriebenenFunktionswerte
konvergieren für wachsende Werte von y 0 folglich gegen den Punkt
(˜r 0, ˜m 0). Für# =0beschriebe der zweite Summand eine einfache Spirale um
den Nullpunkt; in der vorliegenden Situation sind die Vektoren ˜# + #(y 0) für
y 0 > ȳ 0 in einer Kugel mit Radius | ˜#|/2 um den Punkt ˜# enthalten. Die in
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