Über Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des ...

4.2 Beweis des Satzes 4.1
Für das zweite Gleichheitszeichen wurden (4.25) und (4.26) verwendet.
3
Nach (4.24) gilt v 1(X) ↵"(X 1), 1 apple X apple ¯X, für ein hinreichend
2
kleines ¯X >1; alsogilt
|⇠(X)| apple C(X 1) 2 + 2 3
und folglich
Z X
apple C(X 1) 2 + 2 3 sup
2[1,X]
1
|⇠( )|
1 d
|⇠( )|
1 (X 1) , 1 apple X apple ¯X ,
|⇠( )|
sup
2[1,X] 1 apple C(X 1) + 2 3 sup |⇠( )|
2[1,X] 1 , 1 apple X apple ¯X .
Stellt man die Ungleichung um, so erhält man
|⇠(X)|
X 1
|⇠( )|
apple sup
2[1,X] 1
apple C(X 1) , 1 apple X apple ¯X,
womit natürlich ⇠(X) =O((X
erhält man
1) 2 ), X ! 1 gilt. Nach Definition von ⇠
v 2(X) = 3↵ "v 1(X)+O((X 1) 2 )
= 3↵ "v 1(X)+O(v 2 1) , X ! 1 ,
und mit
X dv1(X)
dX
durch Integration
= v2(X)
v 1(X)
↵("X) = 2↵ " + O(X 1) , X ! 1 ,
v 1(X) = 2↵ "(X 1) + O((X 1) 2 ) , X ! 1 ,
womit Teil (a) bewiesen wäre.
(b) Eindeutigkeit. Sei V zu ">0 beliebig aber fest eine Lösung von (S1 ")auf
[1, 1[. Setztman
r
"XV2(X)
r = r(X) =
, X 1,
4⇡
so existiert wegen
dr
dX
= "↵("X) V 2(X)
4⇡r(X)
V 1(X) > 0 , X > 1 , 55