Über Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des ...

1 Vorbereitungen
1.2 Sphärische Symmetrie und Konstruktion stationärer
Lösungen
In der vorliegenden Arbeit interessieren wir uns für sphärisch symmetrische,
stationäre Lösungen des VPS. Eine Lösung (f,U) des VPS bezeichnen wir
dabei als sphärisch symmetrisch, falls f für beliebige A 2 SO(3) der Beziehung
f(t, Ax, Av) =f(t, x, v) ,
t 2 R, x, v 2 R 3 ,genügtundalsstationär, wenndieFunktionenf und U
unabhängig von t sind. Wie in der Einleitung angedeutet, wollen wir derartige
Lösungen als Modelle für relaxierte Kugelsternhaufen und elliptische Galaxien
auffassen.
Das Vlasov-Poisson-System für den Fall sphärisch symmetrischer,
stationärer Lösungen
Für den Fall (klassischer) sphärisch symmetrischer, stationärer Lösungen (f,U)
des VPS gilt aufgrund der Differenzierbarkeit des Potentials auf R 3 insbesondere
rU(0) = 0. DamitlässtsichdasVPSinderForm
v ·r xf U 0 x ·rvf =0,
r
U 0 (r) = 4⇡ Z r
2 ⇢( )d , lim U(r) =0,
r 2 0
r!1
Z
⇢(r) =⇢(x) = f(x, v) dv .
(VPS)
schreiben, wobei wir r = |x| setzen und mit (.) 0 die Ableitung nach dieser
Variable bezeichnen. Anhand dieser Darstellung erkennt man leicht eine für
die Theorie sphärisch symmetrischer Massenverteilungen fundamentale Eigenschaft:
Die Kraftwirkung auf die Partikel wird an jedem Punkt x des Ortsraumes
nur durch solche Teilchen bestimmt, welche sich in geringerer Entfernung zum
Symmetriezentrum befinden, und entspricht dabei derjenigen einer Punktmasse
der Größe
Z r
m(r) =4⇡
2 ⇢( )d , r = |x| 0, (1.8)
0
im Nullpunkt; m(r) besitzt die physikalische Bedeutung der Masse innerhalb
einer Kugel mit Radius r um den nun ausgezeichneten Koordinatenursprung
des Ortsraums. Die durch das Potential induzierte Kraft weist dabei stets in
Richtung des Symmetriezentrums.
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