Über Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des ...

1 Vorbereitungen
Im Fall I = R bezeichnen wir die Lösung als global.
Wie in der Einleitung dargestellt, betrachten wir das VPS als Modell zur
Beschreibung astrophysikalischer Systeme. Von Interesse sind für uns daher
vor allem solche Lösungen, welche gewissen Mindestanforderungen genügen.
Um diese zu formulieren, benötigen wir einige physikalisch motivierte, abgeleitete
Größen. In diesem Zusammenhang wichtig ist die Tatsache, dass durch
das charakteristische System der Vlasov-Gleichung ein maßtreuer Diffeomorphismus
induziert wird. Für jede Lösung (f,U) des VPS ist folglich die als
(Gesamt-)Masse bezeichnete Größe
Z
ZZ
M = ⇢(t, x) dx = f(t, x, v) dv dx (1.4)
eine Erhaltungsgröße. Ebenfalls zeitlich erhalten ist die als (Gesamt-)Energie
bezeichnete Summe aus kinetischer Energie
E kin (t) = 1 ZZ
|v| 2 f(t, x, v) dv dx (1.5)
2
und potentieller Energie
E pot(t) = 1
8⇡
Z
|rU(t, x)| 2 dx. (1.6)
Aus der sehr umfangreichen Theorie zur Poissongleichung notieren wir (ohne
Beweis) die folgenden Aussagen (vgl. etwa [19, S.388ff]):
Lemma 1.2. Für eine messbare Funktion ⇢ : R 3 ! R + 0 sei
Z
⇢(y)
U ⇢(x) =
|x y| dy, x 2 R3 .
(a) Sei ⇢ 2 Cc 1 (R 3 ),soistU ⇢ die eindeutig bestimmte Lösung von (1.2) in
C 2 (R 3 ). Es gelten
Z
x y
rU ⇢(x) =
|x y| ⇢(y)dy, x 2 3 R3 , (1.7)
sowie U ⇢(x) =O(|x|
1 ), rU ⇢(x) =O(|x|
2 ) für |x| !1.
(b) Sei ⇢ 2 L 6/5 (R 3 ),sogiltU ⇢ 2 L 6 (R 3 ) und U ⇢ besitzt eine schwache Ableitung
der Gestalt wie in (1.7) mit rU ⇢(x) 2 L 2 (R 3 ); für eine geeignete
Konstante C>0 gilt
1
8⇡
Z
|rU ⇢(x)| 2 dx = 1 2
ZZ
⇢(x)⇢(y)
|x y| dxdy apple Ck⇢k2 6/5.
8