Über Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des ...

4.3 Ein Transformationslemma
mit C>0 unabhängig von t 0 und z 0 erhält. Mit Hilfe des Lemmas von Gronwall
ergibt sich für t t 0
„ Z t ” µ
|X(t; t 0,z 0)| apple C 1+ e
C R t
( ⌧ t ) µ d⌧
⌧
d « |z 0|
„
apple C 1+
t 0
“
„
1
t
„ « µ ««
t0
|z 0|
t
apple C|z 0| , t 2 I t0 ,z 0
, mit t t 0 , (4.82)
womit insbesondere [t 0,T ] ⇢ I t0 ,z 0
für z 0 2 B˜(0) mit ˜ < /Cfolgt. Man
betrachtet im Folgenden ausschließlich Anfangswerte diesen Typs.
In (4.80) ist der erste Summand offenbar Lösung des linearen, homogenen
Anfangswertproblems (4.76). Man kann ohne Einschränkung annehmen, dass
Definiert man
„
A(0) =
0
0 ¯
«
, = µ + i⌫ .
2(t; t 0,z 0)=X(t; t 0,z 0)
„ t
t 0
« A(0)
· z 0 , (4.83)
und schreibt kurz 2 = x z so ergibt sich im Falle z 0 6= 0für
das Gleichungssystem
t d⇠
dt
= 1
|z|
„
t dx
dt
⇠ = 2/|z| =(x z)/|z|
t dz «
dt
„
1
2|z| 3 2 t dz
«
d¯z
· ¯z + z · t
dt dt
= 1 ( A(0) · x + a2(t, x)+A(0) · z)
|z|
1
“
”
2|z| ⇠ ( A(0) · z) · ¯z + z · ( A(0) · ¯z)
2
= A(0) · ⇠ + µ⇠ + 1 a2(t, x)
|z|
„ « i⌫⇠1
= + 1 a2(t, z + |z|⇠) . (4.84)
i⌫⇠ 2 |z|
Betrachtet man den zweiten Summanden der letzten Zeile als Inhomogenität,
so ist
„ (t/t0) i⌫ «
0
0 (t/t 0) i⌫ (4.85)
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