Über Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des ...

4.1 Das Resultat
In (4.8) vertauschen die partiellen Ableitungen. Bezeichnet man die rechte
Seite des Systems (4.1) mit h = h(y, r, m), sogilt
„ r
@ yD (r0 ,m 0 ) = D
m«
(r0 ,m 0 )h(y, r, m)
„ r
= D (r,m) h(y, r, m) · D (r0 ,m 0 ) , (4.11)
m«
D (r0 ,m 0 )
„ r
m
«˛˛˛˛ = id . (4.12)
y=ỹ 0
Die Spalten der Matrix D (r0 ,m 0 ) (r, m) sind also Lösungen eines linearen Anfangswertproblems
mit linear unabhängigen Anfangswerten. Als Lösung des
linearen Problems existiert die Jacobi-Matrix D (r0 ,m 0 )(r, m) auf [0, ỹ 0] und ist
mit Hilfe des Satzes über die Entwicklung der Wronski-Determinante zu jedem
Zeitpunkt regulär. Identifizieren wir nun die in Satz 4.1 erhaltenen Anfangsdaten
(4.6) mit der Identität (4.9) und setzen den entsprechenden Ausdruck für
( r, m) in die Identität (4.10) ein, so erhalten wir schließlich den
Satz 4.2. Seien g 1/2 und g 3/2 wie in (1.13) zu einem Ansatz der Phasenraumdichte
des Typs Woolley-Dickens oder King und (R, M) = (R, M)(y 0)
Masse und Radius der Lösungen von (4.1), welche der Nebenbedingung (4.2)
genügen. In diesem Fall existieren ȳ 0 > 0 sowie ˜R, ˜M > 0, ˜# 2 R 2 \{0},
# 2 C `]ȳ 0, 1[, R 2´ und ⇥ 2 GL(2, R) so, dass für y 0 > ȳ 0 die Identität
mit
gilt.
„ R
M
«
(y 0)=
„ ˜R
˜M
«
+ " 1/4
y 0
⇥
„ p
7
4 ln("y 0)
«
“ ”
· ˜# + # (y0)
(4.13)
#(y 0) 2 B | ˜#|/2
(0) , y0 > ȳ0, (4.14)
Statt des Faktors 1/2 in (4.14) kann wieder eine beliebig kleine Zahl 0