Über Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des ...

4 Spiralen im (R, M)-Diagramm
gilt. Sei nun ' 2F ⇥,¯t, d.h.insbesondere|'| < ⇥ µ !.NachVoraussetzunggelten
|a 0(t)| apple!(t) , |Ã(t)| appleC!(t) , |a2(t, x)| appleC|x|2 ,
für 0 apple t 0 hinreichend groß und ¯t >0 hinreichend klein, da ! stetig und monoton
wachsend mit !(0) = 0. DaoffenbarF ⇥,¯t ⇢ C([0, ¯t ]) nicht-leer, beschränkt,
abgeschlossen und konvex und man analog zur Untersuchung von T " im Beweis
zu Lemma 4.6 zeigt, dass es sich bei T : F ⇥,¯t !F ⇥,¯t um eine kompakte Abbildung
handelt, besitzt T nach Schauder einen Fixpunkt 0 2F ⇥,¯t. AlsLösung
der Integralgleichung (4.63) ist 0 bereits stetig differenzierbar auf ]0, ¯t ] und
erfüllt dort Gleichung (4.57). Die Eigenschaft (4.61) folgt unmittelbar aus der
Definition von F ⇥,¯t, womitallesgezeigtist.
Lemma 4.11. Zu A wie in Satz 4.9 mit der Eigenschaft (V1) existiert für
¯t >0 hinreichend klein eine Funktion 2 C([0, ¯t ]; R 2⇥2 ) \ C 1 (]0, ¯t ]; R 2⇥2 ) mit
der Eigenschaft
so dass auf ]0, ¯t ]
| (t) E| apple C
Z t
0
!( ) d , 0 apple t apple ¯t, (4.65)
t d dt
= A(t) · + · A(0) . (4.66)
Beweis. Ist ˜ eine komplexwertige Lösung von (4.66) zum Anfangswert ˜(0) =
E, so sind aufgrund der Linearität sowohl Real- als auch Imaginärteil von ˜
ebenfalls Lösungen der Gleichung und der Realteil besitzt wieder den Anfangswert
Re(˜(0)) = E. DahernimmtmanohneEinschränkungan,dassA(0)
Diagonalgestalt mit den Eigenwerten 1/2 = µ ± ⌫i, µ>0, aufderDiagonalen
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