Über Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des ...

Einleitung
ter Galaxien nur geringe Fehler einhergehen, beruht im Wesentlichen auf zwei
Fakten:
Zum einen lässt sich leicht zeigen, dass weiter entfernte Regionen der Galaxie
im Mittel größeren Einfluss auf die Bewegung der Sterne besitzen als deren
näheres Umfeld; aus der Entfernung betrachtet spielt jedoch die präzise Struktur
der Massenverteilung nur eine nachgeordnete Rolle. Eng damit verbunden
ist zum anderen die Tatsache, dass Stöße (hier sind in diesem Zusammenhang
auch Nahbereichs-Vorbeiflüge gemeint) in den meisten betrachteten Galaxien
so selten sind, dass diese vernachlässigt werden können. Eine sehr gute und
ausführliche Darstellung dieser Sachverhalte bietet [4, S.33f]; auf den folgenden
Seiten findet sich dort zudem eine Abschätzung der bereits angesprochenen
Relaxationszeiten.
Mit der Annahme einer differenzierbaren Phasenraumdichte f ergibt sich aus
dem zweiten Punkt zusammen mit dem Prinzip der Massenerhaltung direkt die
Forderung, dass die Phasenraumdichte f entlang der Trajektorien im Phasenraum
erhalten, d.h. konstant sein sollte. Beschreibt also (X, V )(s), s 2 I ⇢ R
offen, die Bahn eines beliebigen Teilchens, so verlangen wir
Formales Differenzieren liefert sofort
d
f(s, X(s),V(s)) = 0, s 2 I.
ds
@ tf + Ẋ ·rxf + ˙V ·r vf =0.
In einem abgeschlossenen System rein gravitativ wechselwirkender Massen folgen
die Bahnen bei Vernachlässigung relativistischer Effekte den Newtonschen
Bewegungsgleichungen
ẋ = v,
˙v =
rU(t, x).
Eingesetzt in die vorhergehende Gleichung ergibt sich die sogenannte Vlasov-
Gleichung. Hierbei beschreibt U(t, x) das zum Zeitpunkt t 2 R am Ort x 2 R 3
von allen Massen gemeinsam erzeugte Gravitationspotential. Bei Betrachtung
des Newtonschen Gravitationspotentials genügt es der Beziehung
4U =4⇡⇢,
wobei wie zuvor bereits angedeutet
⇢(t, x) =
Z
f(t, x, v)dv
gilt. Als skalares Potential eines konservativen Kraftfeldes besitzt der absolute
Wert des Gravitationspotentials in der Newtonschen Theorie bekanntlich keinerlei
Bedeutung für die Dynamik des Systems, und man ist frei in der Wahl
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