Über Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des ...

2 Beschränkte Ausdehnung, endliche Masse
2.4 Anwendung auf das Einstein-Vlasov-System
Ersetzt man die Newtonsche Beschreibung der gravitativen Wechselwirkung
durch die der Allgemeinen Relativitätstheorie, d.h. betrachtet man eine Kopplung
der Vlasov-Gleichung mit den Einsteinschen Feldgleichungen, so lässt sich
für das entstehende Einstein-Vlasov-System unter der Annahme sphärischer
Symmetrie ein zu (1.29) analoges Anfangswertproblem zur Konstruktion stationärer
Lösungen herleiten (vgl. etwa [20]):
Analog zum Vlasov-Poisson-System besitzt auch das Einstein-Vlasov-System
im Falle sphärischer Symmetrie Erhaltungsgrößen E = E(x, v) =e µ(x)p 1+v 2
und L = L(x, v) =|x ⇥ v| 2 .ManbetrachtetAnsätzefürdiePhasenraumdichte
der Form (E,L) = (E)L l für E,L 0, l> 1 .Dabeisei : 2 R+ ! R + 0
messbar so, dass | ]E0 ,1[ =0für ein E 0 > 0 und darüber hinaus für jedes
K ⇢ R + kompakt Konstanten k> 1 und C>0 mit
0 apple (E) apple C(E 0 E) k +, E 2 K,
existieren. Ein Ansatz dieser Form löst wieder die Vlasov-Gleichung
v
p
1+v
2 · @xf
und die Einsteingleichungen liefern das System
p
1+v2 µ 0 x · @vf = 0 (2.12)
r
e 2 (2r 0 1) + 1 = 8⇡r 2 ⇢(r, µ) , (2.13)
e 2 (2rµ 0 +1) 1 = 8⇡r 2 p(r, µ) (2.14)
mit
“ ”
⇢(r, µ) = 2⇡c l, 1 r 2l e (2l+2)µ e 2µ h
2
l+ 3 (e µ )+h
2
l+ 1 (e µ ) ,
2
wobei für m> 1
p(r, µ) = 2⇡c l, 1
2
r 2l e (2l+4)µ h l+ 3
2
(e µ ) ,
und wie zuvor
h m(u) =
(R E0
u
(E)(E 2 u 2 ) m dE , 0