Über Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des ...

1 Vorbereitungen
• Lösungen zu Phasenraumdichten der Form
f(x, v) = (E,L) = (E 0 E) k +L l
(
(E 0 E) k L l , E < E 0 ,
=
0 , E E 0 ,
(1.9)
E 0 2 R fest, k, l > 1, k + l + 3 > 0, bezeichnenwiralspolytrope
2
Lösungen. Für festes k und l bezeichnen wir die Menge dieser Lösungen
auch als die polytropen Lösungen des Typs (k, l).
• Ansätze der Form
f(x, v) =
(
e E 0 E
P n
i=0 (E0 E)i , E < E 0 ,
0 , E E 0 ,
(1.10)
E 0 2 R fest, bezeichnen wir für n = 1, n =0bzw. n =1in dieser
Reihenfolge als Modelle vom Woolley-Dickens–, King– bzw. Wilson–Typ.
Die in allen Ansätzen auftretende Größe E 0 bezeichnet man selbsterklärend
als Abschneideenergie. Eslässtsichzeigen[20],dassAnsätzeohneAbschneideenergie
nicht zu Lösungen mit endlicher Gesamtmasse führen können.
Falls nicht anders vermerkt, betrachten wir im Folgenden stets Ansätze der
Form
(
(E 0 E)L l , E < E 0 ,
(E,L) =
(1.11)
0 , E E 0 ,
E 0 2 R, l> 1/2. Dabeisei 2 C 1 (R + ; R + ) so, dass für ein 1 > >0 eine
Konstante C>0 mit
|
0 (E)| apple CE 2+ , 0 < E < 1 C , (1.12)
existiert. Für die weitere Darstellung ist es günstig, Hilfsfunktionen
g m : R ! R + 0 , y 7!
(R y
0
(E)(y E) m dE, y > 0 ,
0, y apple 0 ,
(1.13)
einzuführen.
Wir benötigen an verschiedenen Stellen der Arbeit gewisse Eigenschaften dieser
Funktionen, die nun vorab nachgewiesen werden sollen. Ähnliche Versionen
des folgenden Lemmas finden sich bereits in [20] und [8].
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