Über Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des ...

4 Spiralen im (R, M)-Diagramm
4.3 Ein Transformationslemma
Satz 4.9. (Transformationslemma) Sei T>0. Betrachtet werde die Gleichung
t dx
dt
= a 0(t) A(t) · x + a 2(t, x) (4.57)
mit a 0 2 C([0,T]; R 2 ), A 2 C([0,T]; R 2⇥2 ), a 2 2 C([0,T] ⇥ B (0); R 2 ) und
a 2 bzgl. x zweimal stetig differenzierbar. A(0) sei regulär mit Eigenwerten µ ±
i⌫, µ, ⌫ > 0. Erfüllen die Funktionen a 0,A und a 2 bezüglich einer monoton
wachsenden Funktion ! 2 C([0,T]) mit der Eigenschaft
die Voraussetzungen
Z T
0
!( ) d < 1 (4.58)
|a 0(t)| apple !(t) , (V0)
|A(t) A(0)| apple C!(t) , (V1)
|a 2(t, x)| apple C|x| 2 , (V2)
0 apple t apple T , so existieren 0 < ¯t < T, 0 < ˜ < sowie Funktionen 0 2
C([0, ¯t ]; R 2 ) \ C 1 (]0, ¯t ]; R 2 ), 2 C([0, ¯t ]; R 2⇥2 ) \ C 1 (]0, ¯t ]; R 2⇥2 ) und 2 2
C 1 (⌦; R 2 ) mit ⌦={(t, t 0,z 0) 2 ]0, ¯t ] 2 ⇥ B˜(0) | t t 0} so, dass zu jeder
Lösung z 2 C 1 ([t 0, ¯t ]), t 0 2 ]0, ¯t [, des Anfangswertproblems
durch
t dz
dt
= A(0) · z, z(t 0)=z 0 2 B˜(0) , (4.59)
x(t) = 0(t)+ (t) · `z(t)+ 2(t; t 0,z 0)´
auf [t 0, ¯t ] eine Lösung von Gleichung (4.57) gegeben ist. Die Funktionen
besitzen auf 0 apple t apple ¯t darüber hinaus die folgenden Eigenschaften:
Zu
| 0(t)| apple Ct µ Z t
| (t) E| apple C
0
Z t
0
(4.60)
0 und
µ !( ) d , (E0)
!( ) d . (E1)
2 existiert eine von t 0 und z 0 unabhängige Konstante C>0 so, dass
Darüber hinaus gilt
| 2(t; t 0,z 0)| apple C|z 0||z(t)| , (t, t 0,z 0) 2 ⌦ . (E2)
2(t 0; t 0,z 0) = 0, (t 0,t 0,z 0) 2 ⌦ . (E3)
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