Über Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des ...

Kurve der Polytrope stets vollständig im Bereich kleinerer Massen verlaufen.
Möglicherweise lässt sich aufgrund dieses Sachverhalts ein Beweis zumindest
für die Endlichkeit der Masse von Lösungen des Wilson-Typs insbesondere für
den Fall großer y 0 entwickeln.
Für den Beweis der Spiralstruktur des (R, M)-Diagramms greifen wir auf eine
Methode zurück, welche T. Makino in [13] zur Untersuchung gewisser allgemeinrelativistischer,
sphärisch symmetrischer, stationärer Gaszustände verwendet,
deren (R, M)-Diagramm ebenfalls eine Spiralstruktur aufweist.
Ausgangspunkt unserer Untersuchung ist das in Abschnitt 1.3 abgeleitete
System (1.36) für r und m als von y abhängigen Variablen. Wir beschränken
uns in diesem Kapitel auf Ansatzfunktionen der Form (1.11) mit l =0,sodass
die zu stationären Lösungen gehörigen Größen m = m(y) und r = r(y) dem
Gleichungssystem
dr
dy =
dm
dy =
r2
m ,
zusammen mit der Nebenbedingung
29/2 ⇡ 2 g 1/2 (y) r4
m , r, m > 0 , (4.1)
(r, m)(y) ! 0 , y ! y 0 , (4.2)
genügen. Ist das Paar (r, m) eine zu einer stationären Lösung des VPS gehörige
Lösung des Gleichungssystems (4.1), so sind durch R = r(0) und M = m(0)
offenbar Radius und Masse der stationären Lösung gegeben. Motiviert durch die
eingangs beschriebene Beobachtung interessieren wir uns für die Abhängigkeit
dieser Größen von y 0 insbesondere für y 0 !1.
Zur Erinnerung halten wir an dieser Stelle noch einmal fest, dass nach (1.23)
und Lemma 1.4 zu den hier betrachteten Ansätzen für die Phasenraumdichte
durch
p = p(y) = 27/2 ⇡
g 3/2 (y), y 2 R + 0 , (4.3)
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ein streng monoton wachsender Zusammenhang zwischen dem Druck p und
dem Wert von y besteht. Es stellt sich bei genauerer Betrachtung heraus, dass
die zu untersuchenden Systeme durch Verwendung von 1/p als unabhängiger
Variable eine besonders angenehme Darstellung besitzen. Interessiert man sich
für die Abhängigkeit des Paares (R, M) von y 0 für y 0 !1,soentsprichtdies
nach (4.3) der Abhängigkeit von Masse und Radius der stationären Lösungen
vom Druck p 0 = p(y 0) im Symmetriezentrum für p 0 !1. Aufgrund des schon
früher thematisierten streng monotonen Zusammenhangs zwischen Druck und
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