Von Quantencomputern, Landminen und Drachen ... - Impulsiv - TUM

LEBEN
Der Querdenker erzählt...
... von Zwergen, Kugeln und Waagen.
Nachdem Carl Georg Heise und Yimin Ge
in unserer letzten Ausgabe uns zwei sehr
rafinierte Rätsel über Drachen und Zwerge
brachten, geht es diesmal um Gewichte.
Viel Spaß beim knobeln. Die Auflösung
wie immer im nächsten impulsiv.
Teil 1
Ein Zwerg hatte einmal eine große
Balken waage. Eines Tages kam ein Freund
zu ihm, mit neun Kugeln, von denen alle
gleich schwer waren, bis auf eine schwerere.
Sein Freund wusste allerdings nicht,
welche diese war, und so beschloss er,
dies mithilfe der Waage herauszufinden,
indem er nach einer geschickten Strategie
die Kugeln auf der Waage verteilte.
Er schaffte es mit zwei Wiegevorgängen.
Wie hat er das angestellt?
Teil 2
Die Geschichte des geschickten Wiege-
Zwergs sprach sich schnell herum und
kurz darauf kam ein weiterer Freund von
ihm, dieser brachte zwölf Kugeln mit sich.
Davon waren elf gleich schwer, eine aber
war anders, ob schwerer oder leichter
konnte niemand sagen. Auch hier gelang
es ihm, nach drei (!) Wiegevorgängen
heraus zufinden, welche Kugel anders wog
und ob sie schwerer oder leichter als die
anderen war. Wie machte er das?
Und hier die Auflösung des letzten Rätsels.
Die online Ausgabe vom impulsiv 95 gibt
es unter: http://mpi.fs.tum.de/ueber_uns/
referate/impulsiv/impulsiv-online.pdf
...von Drachen und Zwergen
Teil 1
Die Zwerge gehen einzeln auf die Wiese
und stellen sich dabei folgendermaßen
auf: Der erste Zwerg stellt sich irgendwo
hin, der zweite neben den ersten Zwerg.
Jeder nun herauskommende Zwerg stellt
sich, falls die Zwerge, die bereits draußen
sind, alle eine Hutfarbe haben, einfach
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neben sie hin. Sind aber Zwerge zweier
Hutfarben auf der Wiese, so stellt er
sich genau zwischen die Zwerge mit
blauem und rotem Hut. Unabhängig von
der Hutfarbe des neuen Zwergs stehen
nun rothütige und blauhütige Zwerge getrennt
voneinander. Am Ende stehen sie
in separaten Reihen, die zufällig auf einer
Geraden liegen.
Teil 2
Die Lösung ist recht mathematisch,
aber anders könnten die Zwerge wohl
nicht überleben.
Die Zwerge betrachten einfach alle möglichen
„Hutverteilungen“ als Funk tionen
f von der Menge der Zwerge Z in die
Menge möglicher Hutfarben {rot, blau}.
Die Menge all dieser Funktionen heiße F.
F unterteilen sie nun in Äquivalenz klassen
G, wobei zwei Funktionen f Î F äquivalent
seien, wenn sie sich nur an endlich vielen
Stellen unterscheiden. Aus jeder Äquivalenzklasse
g Î G wählen sie nun einen
Repräsentanten (Element) g f Î F, diese
Re präsentanten müssen sich alle Zwerge
merken.
Nach der Beratung bekommen alle
Zwerge ihre Zettel. Nun betrachtet jeder
Zwerg die Hüte der anderen Zwerge, erkennt
also (bis auf seine eigene Farbe)
die Funktion f Î F, die der aktuellen Hutverteilung
entspricht. Diese kann er, da
ein einzelner Funktionswert hier egal ist,
eindeutig einer Äquivalenzklasse g zuordnen,
von der er nun den Repräsentanten
g f betrachtet. g f ordnet dem Zwerg nun
eine Hutfarbe zu, diese schreibt er auf
den Zettel. Entsprechend der Wahl der
Äquivalenzklassen liegen jetzt sicher nur
endlich viele Zwerge falsch.
Carl Georg Heise
studiert Mathematik im 4.
Semester
* heisec@fs.tum.de