Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

Technische Universität München 

Prof. Dr.-Ing. T. Sattelmayer - Prof. W. Polifke Ph.D. 

e K 

Q S 

Übungsunterlagen zur Vorlesung 

Wärmetransportphänomene 

s s 

T • 

T K TK 

Kugel 

Durchmesser D 

e H 

e K 

Fall 1 QS Fall 2 

Lehrstuhl für 

THERMODYNAMIK 

T • 

Halbkugel 

Durchmesser D 

Kugel 

Durchmesser D 

Vorlesungsbetreuung: 

Moritz Schulze 

Tel.: 089 / 289-16253 

Raum: MW 0726 

Sprechstunde: Montag, 10:15 - 11:00 Uhr 

email: schulze@td.mw.tum.de 

WTP-Homepage: http://www.td.mw.tum.de/tum-td/de/studium/lehre/waermetrans 

c○Lehrstuhl für Thermodynamik 1



Inhaltsverzeichnis 


THERMODYNAMIK 

Zentralübung 1 

3 Stationäre Wärmeleitung 2 

3.2 Ebene Platte ohne Wärmequellen: Eine Blockhütte . . . . . . . . . . . . . . . 2 

3.7 Ohm’sche Verluste als innere Wärmequelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

3.8 Reihenschaltung thermischer Widerstände: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

3.12 Kontaktwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

3.13 Die Methode der Formfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

3.16 Der kritische Radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

4 Instationäre Wärmeleitung: 

Die Methode der Blockkapazität 8 

4.3 Die Kugel als Blockkapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

4.5 Blockkapazität und Ideal Gerührter Behälter: Bioreaktor . . . . . . . . . . . . 10 

4.8 Blockkapazität: Tiefkühlpizza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

6 Thermische Strahlung 13 

6.4 Strahlungsaustausch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

6.8 Strahlungsschutz für einen Wohnwagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

7 Massen- und Energiebilanzen beim konvektiven Transport 16 

7.1 Die Milch im Kaffee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

7.2 Ideal gerührter Behälter mit Zu- und Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

7.3 Rohrströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

8 Wärmeübertrager 17 

8.1 Wärmeübertrager mit Phasenumwandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

8.3 Auslegung Gegenstromwärmeübertrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

8.6 Wärmeübertrager mit Methode der Formfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . 19 





THERMODYNAMIK 

10 Konvektiver Wärmeübergang und Nußelt-Zahl 21 

10.1 Bestimmung des Wärmeübergangskoeffizienten im Windkanal . . . . . . . . . 21 

10.3 Zwangskonvektion an der längsangeströmten ebenen Platte . . . . . . . . . . 22 

10.5 Konvektiver Wärmeübergang: Quer angeströmtes Wasserrohr . . . . . . . . . 23 

12 Kennzahlen und Ähnlichkeitstheorie 24 

12.6 Kennzahlen eines Wärmeübertragers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

12.7 Kühlung einer Turbinenschaufel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

12.12Ähnlichkeitstheorie: Auslegung eines Kühlkanalmodells . . . . . . . . . . . . . 25 

13 Freie Konvektion 27 

13.7 Freie Konvektion an der senkrechten Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

Hausaufgaben 29 

Hausaufgabe 1 30 

1.1 Fouriergleichung in Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

1.2 Blockhütte: Wärmeübergangskoeffizient innen . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

1.3 Grafische Methode: Schneedecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 


2.1 Heißluftballon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

2.2 Parallelschaltung thermischer Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 


3.1 Innere Wärmequellen: HTR-Brennelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 


4.1 Formfaktoren: Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 37 

4.2 Der kritische Radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 


5.1 Boilergeometrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

5.2 Die Platte als Blockkapazität: Heizkesselwand . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 





THERMODYNAMIK 


6.1 Thermometerfehler zweiter Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

6.2 Das Prinzip des Strahlungsschutzschirms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 


7.1 Sichtbare Sonnenstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

7.2 Wirkungsgrad einer Glühlampe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

7.3 Emissions- und Absorptionsgrade von Glas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

7.4 Wärmepilz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 


8.1 Durchströmtes Rohr als Wärmeübertrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

8.2 Nachrechnung Gegenstromwärmeübertrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 


9.1 Durchlauferhitzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

9.2 Ungemischter Kreuzstromwärmeübertrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 


10.1 Laminare Grenzschicht an einer dünnen Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

10.2 Der hydraulische Durchmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 


11.1 Ähnlichkeitstheorie an der ebenen, dünnen Platte . . . . . . . . . . . . . . . . 55 


12.1 Volumenausdehnungskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

12.2 Freie und erzwungene Konvektion im Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

12.3 Wärmeübergangskoeffizienten am Durchlauferhitzer und am freien Rohr . . . . 59 




Zentralübung 

c○Lehrstuhl für Thermodynamik 1 


THERMODYNAMIK



3 Stationäre Wärmeleitung 

3.2 Ebene Platte ohne Wärmequellen: Eine Blockhütte 

T i 

x 

D 

λ 

T a 


THERMODYNAMIK 

Trapper John baut sich in Kanada eine Blockhütte. Ohne irgendwelche architektonischen Ambitionen 

fügt er einen Quader mit Seitenlängen von 3 bzw. 4 m und Höhe 2 m zusammen. Die 

Wände der Dicke D = 20 cm sind aus Holz. 

Nun versucht Trapper John abzuschätzen, wie viel Brennholz er braucht, um durch den Winter 

zu kommen. Er überlegt, dass er – abgehärtet wie er ist – bei einer Wand- bzw. Deckentemperatur 

Ti = 10 ◦ C noch halbwegs komfortabel wohnen kann. Für die Außenseite der Hütte geht 

er von einer mittleren Temperatur Ta = −15 ◦ C aus. Wie viel Raummeter Brennholz braucht 

Trapper John bei diesen Verhältnissen pro Monat? 

Rechnen Sie vereinfachend mit richtungs- und temperaturunabhängiger Wärmeleitfähigkeit 

λ = 0,17 W/m-K der Wand (Seitenwände und Dach der Hütte werden gleich behandelt, 

Wärmeverluste durch den Boden werden vernachlässigt, Fenster und Tür werden nicht weiter 

berücksichtigt). 

1. Skizzieren Sie als Erstes das Temperaturprofil in der Wand. 

2. Leiten Sie anhand einer thermischen Energiebilanz an einem differentiellen Element eine 

Differentialgleichung für die Temperatur T (x) her (1-D-Betrachtung, 0 < x < D). 

3. Lösen Sie die Differentialgleichung allgemein, bestimmen Sie die Konstanten mithilfe der 

Randbedingungen. Überprüfen Sie das Ergebnis der ersten Teilaufgabe. 

4. Wie groß ist die Wärmestromdichte durch die Wand? 

5. Wie groß ist der gesamte Wärmeleitwiderstand Rλ der Hütte? Welche Gesamtheizleistung 

P wird benötigt, um das angestrebte Temperaturniveau aufrecht zu erhalten? 

6. Wie viele Raummeter (rm) Brennholz werden pro Monat benötigt? Legen Sie dabei einen 

Heizwert von 1800 kWh/rm für Brennholz und einen Wirkungsgrad von 50 % für Trapper 

Johns Kanonenofen zu Grunde. 




3.7 Ohm’sche Verluste als innere Wärmequelle 


THERMODYNAMIK 

Durch ein langes Stromkabel mit Kupferkern (Radius r1) und PVC-Isolationsmantel der Dicke 

h = r2 − r1 fließt ein elektrischer Strom der Stärke I. Ohm’sche Verluste bei elektrischer 

Leitfähigkeit σ setzen im Kupfer Wärme frei, die über die Oberfläche des Kabels bei einem 

Übergangskoeffizienten α an die Umgebung abgegeben wird. Die Wärmeleitfähigkeiten des Kabels 

(λCu) und des Mantels (λP V C) seien konstant. 

Berechnen Sie die Temperaturverteilung in Draht und Mantel. Gehen Sie dabei wie folgt vor: 

1. Stellen Sie die Differenzialgleichung für den Temperaturverlauf in einer Zylinderschale auf 

und integrieren Sie diese allgemein. 

2. Auf welche Kontrollvolumina ist diese Lösung anzuwenden? Wie lauten die Randbedingungen 

und Koppelbedingungen? 

3. Wie groß ist die Wärmequellendichte ˙ωCu im Kupferdraht? 

4. Skizzieren Sie das Temperaturprofil in Kupferkern, Mantel und Umgebung. 

5. Stellen Sie die Formeln für den Temperaturverlauf in Draht und Mantel auf. 

6. Welche Temperaturen ergeben sich im Zentrum des Drahtes, am Übergang Kupfer-PVC 

und auf der Außenseite des Mantels? 

Gegebene Größen und Stoffwerte: 

Radius Kupferkern r1 = 1 mm 

Außenradius PVC-Isolierung r2 = 2 mm 

Stromstärke I = 4,3 A 

elektrische Leitfähigkeit σ = 58 · 10 6 S/m 

Wärmeleitfähigkeit Kupfer λCu = 390 W/(m K) 

Wärmeleitfähigkeit PVC λP V C = 0,15 W/(m K) 

Wärmeübergangskoeffizient PVC-Umgebung α = 15 W/(m 2 K) 

Umgebungstemperatur T∞ = 15 ◦ C 

Hinweis: 1 S = 1 A/V 




3.8 Reihenschaltung thermischer Widerstände: 


THERMODYNAMIK 

Eine ebene Gebäudewand besteht aus zwei Platten der Dicke d und der Fläche A mit der Wärmeleitfähigkeit 

λ. Der Zwischenraum (Abstand s) ist zur Erzielung einer guten Isolierwirkung mit 

PU-Schaum ausgeschäumt (Wärmeleitfähigkeit λs, wobei λs < λ). Der Wärmeübergangskoeffizient 

αi aufgrund freier Konvektion im Gehäuseinneren und der Wärmeübergangskoeffizient 

αa aufgrund erzwungener Konvektion an der Außenseite sowie Innen- und Außentemperatur 

sind bekannt. Dabei sei Ti > Ta. 

T i 

a 

T 1 T 2 

l 

T 3 T 4 

l s l 

i a 

d s d 

x 

Die folgenden Aufgaben sind allgemein für den stationären Fall zu bearbeiten: 

1. Erstellen Sie jeweils eine Skizze des Temperaturverlaufs und des Verlaufs der Wärmestromdichte 

in Abhängigkeit von x. 

2. Geben Sie den Wärmestrom durch die Wand als Funktion der Temperaturdifferenzen 

(Ti − T1), (T1 − T2), (T2 − T3), (T3 − T4) und (T4 − Ta) an. 

3. Geben Sie den Wärmestrom durch die Wand als Funktion der Temperaturdifferenz (Ti − 

Ta) an. 

4. Aus Analogiebetrachtungen zu elektrischen Schaltkreisen können thermische Widerstände 

für die einzelnen Schichten der Wand angegeben werden. Zeichnen Sie ein Blockschaltbild 

für die thermischen Widerstände zwischen den Temperaturen Ti und Ta. 

5. Bestimmen Sie einen Wärmedurchgangskoeffizienten U [W/(m 2 K)], sodass der durch 

die Wand gehende Wärmestrom gemäß ˙ Q = U · AU · (Ti − Ta) einfach berechnet werden 

kann. 


a 

T a



3.12 Kontaktwiderstand 

1 

2 

l L 

A L 

1 

2 

T 1 

T 2 

A K 

l 1 

l 2 

s 

s 

s/2 


THERMODYNAMIK 

Der Kontaktwiderstand zwischen zwei sich berührenden Festkörpern soll mit einem einfachen 

Modell abgeschätzt werden. Dazu werden die Verhältnisse in dem mikroskopisch kleinen Kontaktbereich 

idealisiert. 

Es wird angenommen, dass im Kontaktbereich mit einem mittleren Abstand s sich auf der 

Fläche AK die Materialien direkt berühren und auf der Fläche AL die beiden Körper durch eine 

Luftschicht getrennt sind. 

Die Wärmeleitfähigkeiten der Festkörper λ1, λ2 sowie der Luft λL sind bekannt. An der Kontaktstelle 

herrschen die Temperaturen T1 und T2. 

1. Welcher Wärmestrom wird jeweils durch die Fläche AL bzw. AK übertragen? 

2. Wie groß sind die thermischen Widerstände RL und RK? 

3. Zeichnen Sie das Blockschaltbild der thermischen Widerstände! 

4. Welcher Wärmestrom wird insgesamt durch die Kontaktfläche A = AL+AK übertragen? 

5. Wie groß ist der Gesamtwiderstand Rges? 

6. Bestimmen Sie einen so genannten Kontaktkoeffizienten Uc [W/m 2 -K ], sodass der Gesamtwärmestrom 

gemäß 

˙Q = Uc · A · (T1 − T2) 

einfach berechnet werden kann. 




3.13 Die Methode der Formfaktoren 


THERMODYNAMIK 

Gegeben sind zwei Profile aus Aluminium mit quadratischer Außenkontur der Seitenlänge a. Es 

ist zu untersuchen, ob hinsichtlich der Wärmeübertragung eine quadratische, oder bei gleicher 

durchströmter Fläche eine kreisrunde Kontur vorteilhafter ist. Sowohl die Temperatur der Innenseite 

Ti, als auch die Temperatur der Außenseite Ta sind über den gesamten Umfang und 

über die gesamte Länge l konstant. 

Profil 1 Profil 2 

b 

l 

a a 

Die folgenden Aufgaben sind allgemein und zahlenmäßig zu bearbeiten: 

1. Ermitteln Sie die Formfaktoren für beide Profilquerschnitte! 

2. Wie groß ist bei bei den jeweiligen Profilen der übertragene Wärmestrom? 

3. Bei welchem Durchmesser d2 wird bei Profil Nr. 2 der gleiche Wärmestrom wie bei Profil 

Nr. 1 erreicht? 

4. Berechnen Sie den Wärmestrom für ein Rohr mit einem Innendurchmesser d2 und einem 

Außendurchmesser D = a ! 


Wandtemperatur innen Ti = 80 ◦ C 

Wandtemperatur außen Ta = 40 ◦ C 

Wärmeleitfähigkeit Aluminium λ = 200 W/(m K) 

Rippenlänge l = 1 m 

Seitenlänge außen a = 15 mm 

Seitenlänge innen b = 11 mm 


d 

l



3.16 Der kritische Radius 


THERMODYNAMIK 

Eine Wasserleitung mit Außenradius r1 = 10 mm soll möglichst gut gegen Wärmeverluste isoliert 

werden. Die Wärmeleitfähigkeit des Rohrmaterials ist sehr hoch. Das Isolationsmaterial hat 

die Wärmeleitfähigkeit λI = 0,25 W 

m K und ist mit Außenradien r2 = 15 mm, 25 mm, 35 mm 

verfügbar. Bestimmen Sie, bei welcher Isolation die geringsten Verluste auftreten, indem Sie 

untersuchen, ob ein kritischer Radius auftritt. Gehen Sie davon aus, dass der Wärmeübergangskoeffizient 

auf der Außenseite des Rohres bzw. der Isolation konstant α = 5 W 

m2 K beträgt. 




4 Instationäre Wärmeleitung: 

Die Methode der Blockkapazität 

4.3 Die Kugel als Blockkapazität 


THERMODYNAMIK 

Stahlkugeln (Radius R, konstante Stoffwerte λ, ϱ, c) mit der Anfangstemperatur T0 werden mit 

Hilfe eines Ofens und eines Ölbads gehärtet. Zuerst werden die Stahlkugeln im Ofen bei der 

Temperatur T∞,1 bis auf die Temperatur T1 erwärmt. Anschließend werden die Kugeln in einem 

Ölbad der Temperatur T∞,2 für die Zeitdauer t2 abgekühlt. Die Wärmeübergangskoeffizienten 

α1, α2 seien jeweils konstant. 


1. Leiten Sie anhand einer Energiebilanz für eine Stahlkugel eine Differenzialgleichung für 

die Temperatur T (t) her. 

2. Stellen Sie diese Differenzialgleichung dimensionslos dar. 

3. Die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung lautet: 

θ = C exp (−3 Bi Fo) 

Ermitteln Sie unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung die spezielle Lösung der Differentialgleichung. 

4. Nach welcher Zeit t1 wird die Härtetemperatur T1 erreicht? Ist die Berechnung mit Hilfe 

der Blockkapazität gerechtfertigt? 

5. Welche Wärmemenge hat eine Stahlkugel zu diesem Zeitpunkt aufgenommen? 

6. Welche Temperatur T2 erreichen die Stahlkugeln, nachdem sie für die Zeitdauer t2 im 

Ölbad abgeschreckt wurden? Darf wieder die Methode der Blockkapazität verwendet 

werden? 





Radius der Stahlkugeln R = 13 mm 

Dichte des Stahls ϱ = 8000 kg/m 3 

Spez. Wärmekapazität des Stahls c = 0,4 kJ/kg K 

Wärmeleitfähigkeit des Stahls λ = 50 W/(m K) 

Anfangstemperatur des Stahls T0 = 290 K 

Temperatur des Ofens T∞,1 = 1100 K 

Temperatur des Ölbads T∞,2 = 300 K 

Endtemperatur der Kugeln im Ofen T1 = 1000 K 

Abschreckdauer im Ölbad t2 = 4 min 

Wärmeübergangskoeffizient im Ofen α1 = 20 W/(m 2 K) 

Wärmeübergangskoeffizient im Ölbad α2 = 200 W/(m 2 K) 



THERMODYNAMIK




THERMODYNAMIK 

4.5 Blockkapazität und Ideal Gerührter Behälter: Bioreaktor 

H 

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 

Dämmstoff 

Gel 

XXXX 

T(t) 

XXXXXXX 

XXXX 

Ri Ra XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 

In einem zylinderförmigen, doppelwandigen Bioreaktor soll ein erhitztes Gel, welches anfangs eine 

Temperatur T0 = 350 K besitzt, langsam abkühlen. Das Gel ist von hoher Viskosität, sodass 

im Reaktor keine freie Konvektion stattfindet. Zur Wärme-Isolierung befindet sich ein Dämmstoff 

zwischen den Behälterwänden, die selbst als thermisch ideal leitend betrachtet werden 

dürfen. Die Wärmekapazität von Behälterwand und Dämmstoff sind ebenso wie Wärmeverluste 

über die Stirnflächen vernachlässigbar gering. 


1. Ermitteln Sie bei einem äußeren Wärmeübergangskoeffizienten αa = 5,0 W/(m 2 K) die 

Wärmedurchgangszahl Ui zwischen Gel und Umgebungsluft bezogen auf die Innenfläche 

Ai. 

2. Berechnen Sie den Wärmestrom ˙ Q0, der zum Zeitpunkt t0 an die Umgebung abgegeben 

wird. 

3. Zu welchem Zeitpunkt t1 beträgt der Wärmestrom ˙ 

Q1 = 5,0 W? Vergessen Sie nicht, die 

Gültigkeit Ihrer Näherung mittels Biot-Zahl zu überprüfen. 

4. Welche Wärmemenge Q0−2 wurde bis zum Zeitpunkt t2 = 200 min abgegeben? 

Nun wird der Reaktor mit einer wässrigen Lösung geringer Viskosität befüllt. Zusätzlich wird 

ein Rührwerk eingebaut. Das Flüssigkeitsvolumen kann als ideal gerührt betrachtet werden 

und besitzt nun eine effektive Wärmeleitfähigkeit λeff → ∞. Sonstige Stoffwerte und Größen 

ändern sich nicht wesentlich. Allerdings ist nun ein mittlerer innerer Wärmeübergangskoeffizient 

αi = 150 W/(m 2 K) zwischen der Innenwandung und der Flüssigkeit zu berücksichtigen. 

5. Ermitteln Sie die Wärmedurchgangszahl UigB bezogen auf die Innenfläche Ai. 


α i 

U i 

α a 

T ∞



6. Welche Änderung ergibt sich für die Biot-Zahl? 

7. Zu welchem Zeitpunkt tigB beträgt der Wärmestrom ˙ Q = 5,0 W? 


Wärmeübergangskoeffizient innen (Lösung) αi = 150 W/(m 2 K) 

Wärmeübergangskoeffizient außen αa = 5,0 W/(m 2 K) 

Wärmestrom (Zeitpunkt 1) ˙ Q1 = 5,0 W 

Zeitpunkt 2 t2 = 200 min 

Radius des Innenbehälters Ri = 40 mm 

Radius des Außenbehälters Ra = 45 mm 

Höhe des Behälters H = 200 mm 

Umgebungstemperatur T∞ = 300 K 

Anfangstemperatur des Gels bzw. der Lösung T0 = 350 K 

Wärmeleitfähigkeit Gel λi = 0,65 W/(m K) 

Wärmeleitfähigkeit Dämmstoff λD = 0,03 W/(m K) 

spezifische Wärmekapazität Gel / Lsg ci = 4182 J/(kg K) 

Dichte Gel / Lsg ρi = 1000 kg/m 3 



THERMODYNAMIK



4.8 Blockkapazität: Tiefkühlpizza 


THERMODYNAMIK 

Bei der Herstellung von Tiefkühlpizzen ist es wichtig, dass die fertigen Pizzen möglichst schnell 

eingefroren werden ( ” Schockfrosten“). Für diesen Prozess sollen Sie abschätzen, auf welche 

Temperatur der Schockfroster eingestellt werden muss, um eine optimale Qualität zu gewährleisten. 

Die Pizza können Sie annähernd als eine homogene, flache Scheibe der Dicke H = 1,0 cm 

und Durchmesser D = 26 cm betrachten. Die gemittelten Stoffwerte betragen: Dichte ρ = 

800 kg/m3 , Wärmeleitfähigkeit λ = 0,6 W 

J 

, spezifische Wärmekapazität c = 1400 m K kg K . 

1. Auf welche Temperatur TS muss der Schockfroster eingestellt werden, damit eine Pizza 

innerhalb von 10 Minuten von der homogenen Temperatur T0 = 20 ◦C auf die mittlere 

Temperatur T1 = −18 ◦C abgekühlt werden kann? Der Wärmeübergangskoeffizient im 

Schockfroster beträgt konstant αS = 9 W 

m2 . Die Unterlage, auf der die Pizza liegt, kann 

K 

als adiabat betrachtet werden. 

2. Beim Endverbraucher kommt die Pizza direkt aus dem Tiefkühlfach (T = T1 = −18 ◦ C) 

in den vorgeheizten Backofen (TB = 200 ◦ C). Wie lange braucht die Pizza, bis sie im 

Mittel die Temperatur T2 = 160 ◦ C erreicht hat? Sie können hierbei annehmen, dass 

die Pizza auf einem (vernachlässigbaren) Rost liegt, sodass auf Ober- und Unterseite ein 

mittlerer Wärmeübergangskoeffizient αB = 18 W 

m2 erreicht wird. 

K 




6 Thermische Strahlung 

6.4 Strahlungsaustausch 

Fall 1: 

e K 

Q S 

s s 

T • 

T K TK 

Kugel 

Durchmesser D 

e H 

e K 

Fall 1 QS Fall 2 

T • 

Halbkugel 

Durchmesser D 

Kugel 

Durchmesser D 


THERMODYNAMIK 

Ein Mann steht um die Mittagszeit in der Wüste Arizonas. Die Sonne steht senkrecht über 

ihm und hat die Strahlungsleistungsdichte ˙s. Der Mann hat einen Tropenhelm dabei, ist aber 

zunächst zu faul diesen aufzusetzen. Der Mann hat einen Kugelkopf mit dem Durchmesser D, 

welcher ein grau-strahlendes Verhalten aufweist und den Emissionskoeffizienten εK hat. Der 

Kopf strahlt allseitig in eine unendlich große Umgebung mit der Temperatur T∞, d.h. der Hals 

und der Körper werden vernachlässigt. 

1. Berechnen Sie den vom Kopf via Blutkreislauf / über Schwitzen abzuführenden Wärmestrom 

˙ QS1 bei dem der Kopf die Körpertemperatur TK hält. Welcher stündlichen Wassermasse 

entspricht dieser Wärmestrom bei einer Verdampfungsenthalpie von ∆h? 

Fall 2: 

Später wird es ihm aber doch so unangenehm, dass er den Helm anzieht. Die Sonne steht 

immer noch senkrecht über dem Mann. Der Hut ist halbkugelförmig und überdeckt den halben 

Kugelkopf. Der Hut hat den Emissionskoeffizient εH und ist ebenfalls ein grauer Strahler. Der 

Hut ist sehr dünn und hat nur einen sehr kleinen Abstand zum Kopf, sodass sich seine Fläche 

aus dem Kopfdurchmesser D und dem überdeckten Bereich errechnet. 

2. Berechnen Sie den jetzt abzuführenden Wärmestrom ˙ QS2 und die entsprechende stündliche 

Wassermenge, deren Verdampfung den Kopf auf der Temperatur TK hält. 

Gegebene Größen: 

Stefan-Boltzmann-Konstante σS = 5,67 · 10 −8 W/(m 2 K 4 ) 

Strahlungsleistungsdichte ˙s = 1000 W/m2 

Verdampfungsenthalpie ∆h = 2400 kJ/kg 

Kopf- / Helmdurchmesser D = 0,18 m 

Emissionsgrad des Kopfs εK = 0,2 − 

Emissionsgrad des Helms εH = 0,1 − 

Körpertemperatur TK = 309,9 K 

Umgebungstemperatur T∞ = 318,0 K 




6.8 Strahlungsschutz für einen Wohnwagen 

T∞ 

T Di,ε D 

T W 

ε W 

xx 

q S 

120° 

q S 

r i r a 

b 

W 

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 

B 

D 

xx 

ε B 

T∞ 


THERMODYNAMIK 

Ein Wohnwagen soll mit einem Dach D vor der direkten Sonneneinstrahlung ( ˙qS = 1000W/m 2 ) 

geschützt werden, so dass der Kühlbedarf reduziert wird. Das Dach hat die Form eines 120 ◦ - 

Zylinderschalensegments, das eng an die tonnenförmige Kontur des Wohnwagendachs angepasst 

ist. Es besitzt die Innen- und Außendurchmesser 1,330m und 1,400m. 

Die Länge und Breite des Dachs betragen l = 6,000m und b = 2,430 m. Jede kurze bzw. lange 

Seitenfläche des Wohnwagens beträgt AW,B = 6,48 m 2 bzw. AW,L = 15,00 m 2 . Die Bodenfläche 

des Wohnwagens ist perfekt isoliert. 

Die Kühlleistung der Klimaanlage des Wohnwagens soll einem Wert von ˙ QK∞ = 481 W entsprechen. 

Durch eine Betrachtung der Wärmeströme soll die Anforderung an das Blech B berechnet 

werden, so dass die Vorgabe erfüllt ist. 

Jegliche Wärmeübertragung zwischen Wohnwagen (Temperatur TW = 25,0 ◦ C, Emissionsgrad 

ɛW = 0,61) und Dach und der Umgebung finde nur durch thermische Strahlung statt. Alle 

Oberflächen sind als graue Strahler zu behandeln. 

1. Welcher Wärmestrom ˙ QW ∞ gibt der Wohnwagen über seine Seitenflächen an die sehr 

viel größere Umgebung der Temperatur T∞ = 23, 0 ◦ C durch thermische Strahlung ab? 

2. Erstellen Sie eine Wärmebilanz am Wohnwagen. Welcher Wärmestrom ˙ QDW geht demnach 

effektiv vom Dach D aus den Wohnwagen W durch thermische Strahlung über 

(Emissionsgrade ɛD = 0, 82 und ɛW = 0, 61)? Berechnen Sie daraus die innere Oberflächentemperatur 

TD,i von D! 

3. Berechnen Sie nun die Temperatur TB des sehr gut wärmeleitenden Blechs B (λB → ∞), 

das in idealem thermischen Kontakt zu D steht! 





THERMODYNAMIK 

4. Erstellen Sie eine Energiebilanz am Blech B (diffus grauer Strahler!), und bestimmen Sie 

daraus, welchen Absorptionsgrad αB es besitzen muss (Fläche AB = 17,59 m 2 ). 

Gegebene Größen: 

Wohnwagen W: 

Oberflächentemperatur TW = 25 ◦ C 

Lange Seitenfläche AW,L = 15 m 2 

Kurze Seitenfläche AW,B = 6, 84 m 2 

Emissionsgrad ɛW = 0, 61 − 

Abzuführender Wärmestrom durch die Klimaanlage ˙ QK∞ = 481 W 

Dach - D und B: 

Innenradius ri = 1,330 m 

Außenradius ra = 1,400 m 

Länge l = 6,000 m 

Breite b = 2,430 m 

Öffnungswinkel γ = 120 ◦ 

Oberfläche des Blechs AB = 17,59 m 2 

Emissionsgrad der Trägerschale ɛD = 0,82 − 

Wärmeleitfähigkeit der Trägerschale λD = 0,20 W/(m K) 

Sonstiges: 

Wärmestromdichte der Sonneneinstrahlung ˙qS = 100 0, 0 W/m 2 


Umgebung: 

Temperatur T∞ = 23,0 ◦ C 





THERMODYNAMIK 

7 Massen- und Energiebilanzen beim konvektiven Trans- 

port 

7.1 Die Milch im Kaffee 

Sie kochen sich am Morgen einen Kaffee, der jedoch noch abkühlen muss, bevor sie ihn trinken 

können. Wie meistens sind Sie spät dran. Welche der beiden unten genannten Methoden würden 

Sie verwenden, um Ihren Bus noch zu erwischen? Begründen Sie Ihre Antwort. 

a) Zuerst die kalte Milch in den Kaffee geben und dann abkühlen lassen? 

oder 

b) Die kalte Milch erst kurz vor dem Trinken in den Kaffee geben? 

7.2 Ideal gerührter Behälter mit Zu- und Ablauf 

Beim ideal gerührten Behälter mit Zu- und Ablauf wurde der Einfachheit halber angenommenm, 

dass Eintritts-, Anfangs- und Umgebungstemperatur identisch sind, TE = T0 = T∞. 

Betrachten Sie nun den Fall, dass die Eintrittstemperatur oberhalb der Umgebungstemperatur 

liegt, TE > T∞ = T0. Leiten Sie aus der Energiebilanz die zugehörige (entdimensionierte) Differenzialgleichung 

ab. Diskutieren Sie die Lösung, betrachten Sie dabei insbesondere den Fall 

TE − T∞ ≫ ˙ Qel/( ˙mc). 

7.3 Rohrströmung 

Die Gleichung 

dTm U 2π ra 

dx + (Tm − T∞) dx = 0 

dx ˙m c 

für die Temperaturentwicklung entlang des Rohres mit Strömung und Wärmeverlust wurde mit 

der Rohrlänge L als Bezugsgröße für die Ortskoordinate x entdimensioniert. Alternativ kann man 

auch eine Bezugslänge Lref so definieren, dass die Differentialgleichung für die entdimensionierte 

Mischungstemperatur Θ ′ +Θ = 0 lautet. Bestimmen Sie die Bezugslänge Lref und interpretieren 

Sie die Lösung. 




8 Wärmeübertrager 

8.1 Wärmeübertrager mit Phasenumwandlung 


THERMODYNAMIK 

Mit Hilfe einer lokalen Energiebilanz wurde in der Vorlesung die Betriebscharakteristik eines 

Gegenstromwärmeübertragers bestimmt. 

1. Bestätigen Sie mit dieser Methode die Ergebnisse für einen Wärmeübertrager mit Phasenumwandlung: 

N = − ln(1 − ɛ) 

ɛ = 1 − exp(−N) 

2. Überprüfen Sie, ob die in den Arbeitsunterlagen zusammengestellten Formeln für Wirkungsgrad 

und Übertragungsfähigkeit sowohl der Gegenstrom- als auch der Gleichstrom- 

Bauform für ˙ Cr → 0 das gleiche Ergebnis liefern. 




8.3 Auslegung Gegenstromwärmeübertrager 

T h 

T h 

T' c 

Öl 

Wasser 

L 

α a 

α i 

T' h 

T' h 

D i 


THERMODYNAMIK 

Schmieröl soll mittels eines Doppelrohr-Gegenstrom-Wärmeübertragers von 100 ◦ C auf 60 ◦ C 

gekühlt werden. Durch das innere Rohr fließt Kühlwasser, zwischen innerem und äußerem Rohr 

strömt Öl. Der gesamte Wärmeübertrager ist als adiabat gegenüber der Umgebung zu behandeln 

(perfekte Isolation des äußeren Rohres). Der Wärmeleitwiderstand des inneren Rohres sei 

vernachlässigbar. 

1. Führen Sie die Auslegungsrechnung mit Hilfe der Bertriebscharakteristik des Gegenstromwärmeübertragers 

durch, und bestimmen Sie die benötigte Länge L der Anordnung. 

2. Führen Sie die entsprechende Rechnung nun unter Zuhilfenahme der logarithmischen 

mittleren Temperaturdifferenz ∆Tlog durch. 


Kühlwasser 

Massenstrom ˙mc = 0,2 kg/s 

Eintrittstemperatur Tc = 30 ◦ C 

Spezifische Wärmekapazität cc = 4178 J/(kg K) 

Schmieröl 

Massenstrom ˙mh = 0,1 kg/s 

Eintrittstemperatur Th = 100 ◦ C 

Austrittstemperatur T ′ h = 60 ◦ C 

Spezifische Wärmekapazität ch = 2131 J/(kg K) 

Durchmesser des inneren Rohres Di = 25 mm 

Wasserseitiger Wärmeübergangskoeffizient αi = 2250 W/(m 2 K) 

Ölseitiger Wärmeübergangskoeffizient αa = 38,40 W/(m 2 K) 


T c 

D a



8.6 Wärmeübertrager mit Methode der Formfaktoren 

B 

l R 

2r 

T R 

T m 

v Na 

v Na 

2r B 

T'Na T Na 


THERMODYNAMIK 

Flüssiges Natrium soll über eine Distanz L durch einen Strömungskanal transportiert werden, 

dessen Querschnitt außen durch ein Quadrat der Seitenlänge B und innen durch eine Kreislinie 

mit Radius r begrenzt ist. 

Das Natrium strömt mit einer mittleren Geschwindigkeit vNa, der Wärmeübergang vom flüssigen 

Natrium zur Rohrinnenwandung sei ideal (α → ∞). 

Die Außenfläche liegt gleichmäßig auf der Temperatur TR. Der Wärmestrom ˙ Q, den das Natrium 

an die Umgebung abgibt, ist konstant und bekannt. Wärmeleitung in Längsrichtung darf 

vernachlässigt werden. 

1. Berechnen Sie aus ˙ Q eine ungefähre mittlere Temperatur Tm der Rohrinnenwandung. 

2. Bestimmen Sie den Wärmedurchgangskoeffizienten UR zwischen Außen- und Innenfläche 

des Kanals, bezogen auf die Innenfläche. 

3. Bestimmen Sie die aus ˙ Q sich ergebende Temperaturdifferenz TNa − T ′ Na . 

4. Bestimmen Sie die Eintrittstemperatur TNa des Natriums in das Rohr. 

Hinweis: Identifizieren Sie dazu Tm − TR mit der logarithmisch gemittelten Temperaturdifferenz, 

die durch TR einerseits und andererseits durch TNa und T ′ Na gegeben ist. 

Um in der Berechnung der 2-D-Wärmeleitung das Verfahren der Formfaktoren überhaupt verwenden 

zu können, muss gelten, dass die Temperaturgradienten in Längsrichtung des Rohres 


L




THERMODYNAMIK 

sehr viel geringer sind als in radialer Richtung: ∂T/∂x ≪ ∂T/∂r. Verwenden Sie folgende 

Abschätzung: 

5. Wir fordern: ∂T/∂x 

∂T/∂r 

∂T 

∂x ≈ TNa − T ′ Na 

L 

∂T 

∂r ≈ T ′ Na 

− TR 

B/ √ 2 − r 

< 0,05. Ist dieses Kriterium erfüllt? 

6. Berechnen Sie die Temperatur des strömenden Natriums nach der Lauflänge 0,5L. 


Länge des Kanals L = 10 m 

Innenradius r = 0,15 m 

Kantenlänge B = 0,40 m 

Wärmeleitfähigkeit λR = 55 W/(m K) 

Oberflächentemperatur TR = 960 K 

Verlustwärmestrom ˙ Q = 27 320 W 

Dichte des Natriums ρNa = 778,5 kg/m 3 

Spezifische Wärmekapazität cNa = 1,260 kJ/(kg K) 

Fließgeschwindigkeit des Natriums vNa = 0,3 m/s 





THERMODYNAMIK 

10 Konvektiver Wärmeübergang und Nußelt-Zahl 

10.1 Bestimmung des Wärmeübergangskoeffizienten im Windkanal 

In der Vorlesung wurde gezeigt, dass die Nußelt-Zahl Nu, die als dimensionsloser Wärmeübergangskoeffizient 

aufgefasst werden kann, im Falle von Zwangskonvektion eine Funktion der 

Reynolds-Zahl Re und der Prandtl-Zahl Pr ist: 

Nu = Nu(Re, Pr) 

Die Stoffwerte von Luft werden im Folgenden als konstant angenommen. Mit diesem Wissen 

soll folgendes Problem gelöst werden: 

Der Wärmeübergang von einem kompliziert geformten Körper (charakteristisches Längenmaß 

L1 = 1 m) an eine Luftströmung der Geschwindigkeit u1 = 5 m/s soll experimentell untersucht 

werden. Dazu wird ein um den Faktor 10 kleineres Modell angefertigt und im Windkanal 

untersucht. 

1. Wie hoch muss die Geschwindigkeit u2 der Luftströmung im Windkanal gewählt werden, 

damit strömungsmechanische Ähnlichkeit (d.h. identische Reynolds-Zahl) zwischen 

Experiment und Realität herrscht? 

2. Im Windkanalexperiment wird der Wärmeübergangskoeffizient α2 = 65 W/(m 2 K) gemessen. 

Welcher Wärmeübergangskoeffizient liegt folglich in der Realität vor? 

3. Wie hoch ist das Verhältnis der auftretenden Wärmeströme ˙ Q1/ ˙ Q2, wenn die Temperaturen 

von Körperoberfläche und Luft in beiden Fällen dieselben sind? 





THERMODYNAMIK 

10.3 Zwangskonvektion an der längsangeströmten ebenen Platte 

Eine ebene Platte der konstanten Temperatur TW wird längs einer Oberfläche von Luft der 

Temperatur T∞ mit der Geschwindigkeit w∞ angeströmt. 

c p 

w 

y 

T• 

x 


1. Bis zu welcher Plattenlänge Lk ist die Grenzschicht laminar? 

L k 

2. Wie groß ist der örtliche Wärmeübergangskoeffizient α1 an der Stelle L1? 

3. Wie groß ist der mittlere Wärmeübergangskoeffizient α1 zwischen x = 0 und x = L1? 

4. Wie groß ist der mittlere Wärmeübergangskoeffizient α2 zwischen x = 0 und x = L2? 

5. Berechnen Sie die Grenzschichtdicke an der Stelle L1 und an der Stelle L3! 

6. Skizzieren Sie den Verlauf des mittleren Wärmeübergangskoeffizienten α im Bereich 0 < 

L < 1 m. 

7. Welche mittlere Wärmestromdichte ˙q ergibt sich bei einer Platte der Länge L2? 


Länge L1 = 0,05 m 

Länge L2 = 0,5 m 

Länge L3 = 1,0 m 

Wandtemperatur TW = 20 ◦ C 

Umgebungstemperatur der Luft T∞ = 60 ◦ C 

Anströmgeschwindigkeit w∞ = 100 m/s 

Dichte der Luft (bei Tbez = 40 ◦ C) ϱ = 1,13 kg/m 3 

spez. Wärmekapazität der Luft (bei Tbez = 40 ◦ C) cp = 1,0 kJ/(kg K) 

kin. Viskosität der Luft (bei Tbez = 40 ◦ C) ν = 17 · 10 −6 m 2 /s 

Wärmeleitfähigkeit der Luft (bei Tbez = 40 ◦ C) λ = 0,0271 W/(m K) 


T W 

L




THERMODYNAMIK 

10.5 Konvektiver Wärmeübergang: Quer angeströmtes Wasserrohr 

Ein Wasserrohr mit Innenradius ri und Außenradius ra wird von Wasser mit dem Massenstrom 

˙mW durchströmt. Außerdem wird das Rohr von Luft mit der Geschwindigkeit uL quer angeströmt. 

Alle benötigten Stoffwerte sind bekannt (s.Tabelle) und temperaturunabhängig. 

1. Wie groß ist der Wärmeübergangskoeffizient αi auf der Rohrinnenseite? 

2. Wie groß ist der Wärmeübergangskoeffizient αa auf der Rohraußenseite? 

3. Wie groß ist die Wärmedurchgangszahl U bezogen auf die Innenfläche des Rohres? 

4. Welche Maßnahme würden Sie bevorzugen, um den Wärmedurchgang zu erhöhen: Die 

Strömungsgeschwindigkeit des Wassers oder die der Luft erhöhen? Warum? 


Rohrleitung: 

Innenradius ri = 40 mm 

Außenradius ra = 50 mm 

Wärmeleitfähigkeit λR = 52 W/(m K) 

Wasser: 

Massenstrom ˙mW = 5,03 kg/s 

Dichte ρW = 1000 kg/m 3 

Wärmeleitfähigkeit λW = 0,60 W/(m K) 

kin. Viskosität νW = 1,0 · 10 −6 m 2 /s 

Prandtl-Zahl PrW = 7,0 − 

Luft: 

Geschwindigkeit uL = 3,0 m/s 

Dichte ρL = 1,13 kg/m 3 

Wärmeleitfähigkeit λL = 0,024 W/(m K) 

kin. Viskosität νL = 1,5 · 10 −5 m 2 /s 

spez. isobare Wärmekapazität cp,L = 1005 J/(kg K) 




12 Kennzahlen und Ähnlichkeitstheorie 

12.6 Kennzahlen eines Wärmeübertragers 


THERMODYNAMIK 

Bestimmen Sie die Kennzahlen ε, θc, θh, ˙ Cr und N eines Wärmeübertragers durch Dimensionsanalyse. 

12.7 Kühlung einer Turbinenschaufel 

Kühlkanal 

w∞= 160m/s 

T∞=1150oC 

q=95kW/m 2 

L=40mm 

T W =800 o C 

Bei einem Experiment wird eine Turbinenschaufel mit Luft der Temperatur T∞ = 1150 ◦ C bei 

einer Geschwindigkeit w∞ = 160 m/s angeströmt. Damit sich eine konstante Oberflächentemperatur 

TW = 800 ◦ C einstellt, wird die an die Schaufel übertragene Wärme über den Kühlkanal 

abgeführt. Dabei zeigt sich die Wärmestromdichte ˙q = 95 kW/m 2 . Nehmen Sie im Folgenden 

konstante Stoffwerte an. 

1. Bestimmen Sie die Wärmestromdichte ˙q1, wenn die Temperatur TW auf TW,1 = 700 ◦ C 

abgesenkt wird. 

2. Berechnen Sie die Wärmestromdichte ˙q2, wenn (bei TW = 800 ◦ C die Anströmgeschwindigkeit 

w∞ auf w∞,2 = 80 m/s reduziert und die Ausdehnung L der Schaufel auf L2 = 

80 mm verdoppelt wird. (Tipp: Nux = f(x, Rex, Pr).) 





THERMODYNAMIK 

12.12 Ähnlichkeitstheorie: Auslegung eines Kühlkanalmodells 

Kühlkanal: h Gt x b Gt x l Gt 

Brennkammer 

Ausschnitt einer 

doppelwandigen 

Brennkammer 

mMo TMo pMo 

Plexiglasmodell 

Die Brennkammern moderner Gasturbinen sind häufig doppelwandig, um eine konvektive 

Kühlung der Brennkammerwände zu ermöglichen. Der Spalt zwischen den Wänden ist dabei 

in Umfangsrichtung in Segmente unterteilt, sodass sich eine Vielzahl von Kühlkanälen ergibt 

(siehe Skizze). Die der Brennkammer zugewandte Seitenwand der Kühlkanäle wird von heißen 

Abgasen (T ≈ 1600 K) überströmt, während im Kanal Kühlluft (TGt = 600 K) strömt, 

die die von den Heißgasen an die Brennkammerwand abgegebene Wärme abführt und so die 

Wandtemperatur auf einen materialverträglichen Wert reduziert. 

Ein einzelnes Kühlkanalsegment stellt annähernd einen geraden Kanal rechteckigen Querschnitts 

dar mit einer Länge von lGt = 0,6 m, einer Breite von bGt = 0,16 m und einer Höhe 

von hGt = 0,02 m. Im Kanal strömt Kühlluft mit einer Geschwindigkeit von wGt = 40 m/s bei 

einem Druck von pGt = 20 bar. 

Nun ist geplant, den Wärmeübergang im Kanal durch den Einbau von Rippen zu erhöhen, 

weshalb experimentell bei Atmosphärendruck der Wärmeübergang im Kanal untersucht werden 

soll. Ein maßstäbliches Modell des Kühlkanals wird zu diesem Zweck aus Plexiglas gefertigt, um 

Strömungsvisualisierung und Temperaturmessung mittels temperaturempfindlicher Flüssigkristalle 

zu ermöglichen. Um eine hohe räumliche Auflösung der Messungen zu ermöglichen, soll 

das Modell so groß wie möglich sein. Der Massenstrom der Laborluftversorgung ist allerdings 

auf knapp 5 kg/s bei maximal 1,4 bar begrenzt. 

Es gilt das ideale Gasgesetz. Die Prandtl-Zahl der Luft sei nicht temperaturabhängig: Pr = 

Pr300 = Pr600. Der hydraulische Durchmesser kann für alle Teilaufgaben mit Dh = 2 · h 

berechnet werden. 


1. Bestimmen Sie die Reynolds-Zahl der Strömung im Kühlkanal der Gasturbine. 

2. Legen Sie damit die Dimensionen des Plexiglas-Modells so aus, dass mit einem Kühlluftmassenstrom 

von ˙mMo = 4 kg/s (bei pMo = 1,1 bar und TMo = 30 ◦ C) die Reynolds- 

Ähnlichkeit eingehalten werden kann. Wie groß ist dabei die Geschwindigkeit wMo im 

Kanalmodell? 


b 

h 

l




THERMODYNAMIK 

3. Bestimmen Sie mit der angegebenen Korrelation die Nußelt-Zahl Nu und den Wärmeübergangskoeffizienten 

α im Kühlkanal. 

4. Einer Seite des Kanalmodells wird durch Anbringen von elektrischen Heizfolien ein Wärmestrom 

aufgeprägt, um mit Hilfe der temperaturempfindlichen Flüssigkristalle (TFK) die 

Temperaturverteilung auf der beheizten Fläche zu bestimmen. Die verwendeten TFKs sind 

im Temperaturbereich von TT F K = 32...47 ◦ C einsatzfähig. Mit welcher Wärmestromdichte 

˙qmax kann das Kanalmodell maximal beaufschlagt werden, wenn der Messbereich 

der TFKs nicht überschritten werden soll, und wenn angenommen wird, dass die Kühlluft 

im Kanal nicht wesentlich erwärmt wird? 

5. Überprüfen Sie nun, ob die in Teilaufgabe 4 gemachte Annahme ungefähr konstanter 

Kühllufttemperatur gerechtfertigt ist. Berechnen Sie dazu, welche elektrische Heizleistung 

benötigt wird, um die gesamte beheizte Wand mit der Wärmestromdichte ˙qmax zu 

beaufschlagen? Wie groß ist bei diesen Bedingungen die mittlere Temperatur der Kühlluft 

am Austritt des Modellkanals? 

Nu = αDh 

λ = 0,0214(Re0,8 − 100)Pr 0,4 KL 

mit 

KL = 1 + 


� �0,16 Dh 

L 

Gasturbine: 

Temperatur der Kühlluft TGt = 600 K 

Höhe des Kühlkanals hGt = 0,02 m 

Breite des Kühlkanals bGt = 0,16 m 

Länge des Kühlkanals lGt = 0,6 m 

Luftdruck im Kühlkanal pGt = 20 bar 

Luftgeschwindigkeit im Kühlkanal wGt = 40 m/s 

Modell: 

Temperatur der Luft TMo = 30 ◦ C 

Luftdruck pMo = 1,1 bar 

Massenstrom der Luft ˙mMo = 4,0 kg/s 

Stoffwerte der Luft: 

Gaskonstante R = 287 J/(kg K) 

spezifische isobare Wärmekapazität (T = 300 K) cp,300 = 1007 J/(kg K) 

dynamische Viskosität (T = 300 K) η300 = 1,85 · 10 −5 Ns/m 2 

dynamische Viskosität (T = 600 K) η600 = 3,02 · 10 −5 Ns/m 2 

Wärmeleitfähigkeit (T = 300 K) λ300 = 2,62 · 10 −2 W/(m K) 

Wärmeleitfähigkeit (T = 600 K) λ600 = 4,66 · 10 −2 W/(m K) 

Prandtlzahl Pr = 0,7 - 




13 Freie Konvektion 

13.7 Freie Konvektion an der senkrechten Platte 


THERMODYNAMIK 

Ein Labor soll mit wenig Aufwand gekühlt werden. Dazu wird in erster Abschätzung der 

Wärmeübergang an einem ebenen senkrechten Plattenkühler untersucht. Der Wärmeübergang 

an den Schmalseiten kann gegenüber dem an der Vorder- und Rückseite (h · b) vernachlässigt 

werden. Die mittlere Plattentemperatur TP und die Umgebungstemperatur Tu sind konstant. 

Die maximale Temperaturerhöhung des Kühlwassers soll kleiner als ∆T sein. 

h 

m= 

g ? 

T P 

b 

g 

Tu Pr 

=? 

TP w =? 

a 

l, n, 

b, 

w 

a 

g 

h 

m= 

w ? 

(g) (w) 

b 

T u 

l, n, Pr 

Die folgenden Aufgaben sind allgemein und zahlenmäßig für den Fall der freien Konvektion 

(g) und der erzwungenen Konvektion (w) zu bearbeiten: 

1. Wie groß ist der mittlere Wärmeübergangskoeffizient α? 

2. Welche Kühlleistung ergibt sich daraus? 

3. Wie groß ist der minimale Kühlwasserbedarf? 

4. Mit welchen einfachen Änderungen lässt sich die Kühlleistung wesentlich erhöhen? 





Höhe h = 0,3 m 

Breite b = 1,0 m 

Plattentemperatur TP = 12 ◦ C 

Umgebungstemperatur Tu = 20 ◦ C 

Temperaturerhöhung ∆T = 3,0 K 

Anströmgeschwindigkeit w = 1,0 m/s 

Spez. Wärmekapazität (Wasser) cp,W = 4,2 kJ/(kg K) 

Kin. Viskosität (Luft) ν = 15 · 10 −6 m 2 /s 

Wärmeleitfähigkeit (Luft) λ = 0,025 W/(m K) 

Isobarer Ausdehnungskoeffizient (Luft) β = 3,4 · 10 −3 1/K 

Prandtl-Zahl (Luft) Pr = 0,71 − 

Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s 2 



THERMODYNAMIK



Hausaufgaben 



THERMODYNAMIK



Hausaufgabe 1 

1.1 Fouriergleichung in Zylinderkoordinaten 


THERMODYNAMIK 

Leiten Sie anhand einer Energiebilanz an einem Zylinder infinitesimaler Dicke dr und Länge 

dz die Fouriergleichung im zylindrischen Koordinatensystem (r, φ, z) bei Azimutalsymmetrie 

(∂/∂φ = 0) her. 

Tipp: Für die Wärmeleitung in radialer Richtung gilt 

˙Q∂V,r = ˙qr|r 2π r dz − ˙qr|r+dr 2π (r + dr) dz 

1.2 Blockhütte: Wärmeübergangskoeffizient innen 

Zurück zu Aufgabe 3.2 auf der Zentralübung: 

Trapper John hat nicht berücksichtigt, dass aufgrund des Wärmeübergangswiderstandes zwischen 

Raumluft und Innenseite der Wände bzw. Decke die Raumtemperatur T∞,i etwas über 

der Wandtemperatur Ti liegen wird. 

1. Bestimmen Sie bei ansonsten unveränderten Bedingungen diesen Temperaturunterschied 

bei einem Wärmeübergangskoeffizienten αi = 5 W/(m 2 K). 

2. Welche weiteren Wärmetransportmechanismen können noch zu Trapper Johns Wohlbefinden 

beitragen? 

1.3 Grafische Methode: Schneedecke 

Leider stellt Trapper John bald fest, dass das Flachdach der Hütte nicht ganz wasserdicht ist. 

Das ständige Tropfen von der Decke hört erst auf, als starker Frost kommt und die Oberseite 

des Daches bei Temperaturen Ta < 0 ◦ C gefriert. 

Mit dem ersten Schneefall bemerkt Trapper John erfreut, dass er weniger Brennholz braucht, 

um die Hütte warm zu halten, weil die Schneedecke auf dem Dach mit der geringen Wärmeleitfähigkeit 

λS = 0,05 W/(m K) als zusätzliche Isolation wirkt. 

1. Bestimmen Sie mit der in der Vorlesung vorgestellten graphischen Methode die Temperaturen 

in Dach und Schneedecke. Für die Wärmeübergangskoeffizienten gelte αi = 

5 W/(m 2 K), αa = 20 W/(m 2 K). Die Schneedecke ist 5 cm dick, für die Raum- und 

Umgebungstemperaturen gelte T∞,i = 12 ◦ C und T∞,a = −20 ◦ C. 





THERMODYNAMIK 

2. Wie groß ist die Wärmedurchgangszahl US ( ” U-Wert“, früher: k-Wert) des schneebedeckten 

Daches bei diesen Bedingungen? Zum Vergleich: Wie groß ist der U-Wert des 

Daches ohne Schnee? 

3. Ab welcher Dicke der Schneedecke muss Trapper John damit rechnen, dass die Schneedecke 

zu tauen beginnt und wieder Schmelzwasser von der Decke tropft? 




Hausaufgabe 2 

2.1 Heißluftballon 


THERMODYNAMIK 

In modernen Heißluftballons wird Wasserdampf als Traggas verwendet, um den nötigen Auftrieb 

zu erzeugen. Die nötige thermische Leistung zur Aufheizung des Wasserdampfes ist durch 

einen entsprechenden Ballonbrenner realisiert. 

Eine konstante Temperatur des Wasserdampfes von TW D > 100◦C ist erforderlich, sodass keine 

Kondensation eintritt und eine stabile Höhenposition gewährleistet werden kann. Dies wird erreicht, 

indem eine geeignete Isolationsschicht an der Ballonhülle angebracht wird. Im Folgenden 

soll die Dicke der Isolationsschicht sISO mit einer Wärmeleitfähigkeit von λISO = 0,03 W 

m K 

(richtungs- und temperaturunabhängig) bestimmt werden. Vereinfachend wird in dieser Aufgabe 

ausschließlich die Isolationsschicht betrachtet. 

Sie können für diese Aufgabe die Isolationsschicht des Ballons als kugelförmig mit dem Innenradius 

rISO = 5 m modellieren. Zunächst wird angenommen, dass die Wärmeübergänge 

vom Wasserdampf an die Isolationsschicht sowie von der Isolationsschicht an die Umgebung 

ideal seien, d.h. αW D → ∞ bzw. α∞ → ∞. In der Umgebung herrsche eine Temperatur von 

T∞ = −10◦C. 1. Leiten Sie zunächst für den allgemeinen (d.h. instationären) Fall eine Differentialgleichung 

für die Temperatur T (r, t) anhand einer thermischen Energiebilanz an einem differentiellen 

Element her (1-D-Betrachtung, rISO < r < rISO + sISO). 

Für die folgenden Aufgaben wird die Flugphase bei konstanter Höhe betrachtet. 

2. Wie ändert sich somit der Zustand des Systems? Wie lautet daher die Differentialgleichung 

für die Temperatur T (r) für diesen Fall? 




3. Skizzieren Sie das Temperaturprofil T (r) in der Isolationsschicht. 


THERMODYNAMIK 

4. Lösen Sie die Differentialgleichung allgemein und bestimmen Sie die Konstanten formelmäßig 

mithilfe der Randbedingungen. 

Durch den Ballonbrenner wird ein konstanter Wärmestrom von ˙ QBB = 0,3MW erzeugt. 

Effekte durch die Öffnung der Ballonhülle für den Ballonbrenner werden nicht berücksichtigt. 

5. Wie groß ist die Wärmestromdichte durch die Innenfläche der Isolationsschicht? 

6. Welche Isolationsdicke sISO ist erforderlich um sicherzustellen, dass die Kondensationstemperatur 

nicht erreicht wird? Berücksichtigen Sie bei der Auslegung eine Sicherheit von 

10 ◦ C. 

7. Wie groß ist der gesamte Wärmeleitwiderstand Rλ der Isolationsschicht? 

8. Welche Masse mP G an Propangas (Heizwert H = 13kWh/kg) ist erforderlich, um einen 

Rundflug mit einer Distanz von sB = 200km bei einer Geschwindigkeit von vB = 50km/h 

durchführen zu können? Gehen Sie von einem Wirkungsgrad von ηBB = 0,8 des Ballonbrenners 

aus. 

Nun sollen zusätzlich die Wärmeübergänge mitberücksichtigt werden. Benutzen Sie die Wärmeüber- 

gangskoeffizienten αW D = 80 W 

m 2 K bzw. α∞ = 300 W 

m 2 K . 

9. Geben Sie für diesen Fall die Wärmedurchgangszahl bezogen auf die Innenfläche an. 

Benutzen Sie für die Dicke der Isolationsschicht das Ergebnis aus Teilaufgabe 6. 

10. Berechnen Sie die Temperatur des Wasserdampfes TW D, die sich bei unveränderter Außentemperatur 

T∞ einstellt. 




2.2 Parallelschaltung thermischer Widerstände 


THERMODYNAMIK 

Betrachtet wird eine Wandkonstruktion aus zwei parallelen Metallplatten (P) im Abstand d = 

0,15 m, die als ideal thermisch leitend angesehen werden dürfen (λP → ∞). Zwischen den 

Platten sind Abstandshalter (A, λA = 15 W/(m K)) angebracht, die in idealem thermischen 

Kontakt zu den Platten stehen (Rth,Kontakt = 0). Der restliche Zwischenraum ist von grob 

offenporigem Isolierschaum (S, verhindert Konvektion, Rth,Kontakt = 0) ausgefüllt, der näherungsweise 

die thermische Leitfähigkeit von Luft besitzt (λS = λLuft = 0,026 W/(m K)). 

Es soll nun der Wärmedurchgang durch die gesamte Wandkonstruktion betrachtet werden. 

Die Berechnung soll an einem Wandsegment wie folgt erfolgen: Eine einzelne Kontaktfläche 

Platte−Abstandshalter AA = 0, 0025 m 2 ist jeweils umgeben von der zugehörigen Kontaktfläche 

Platte−Schaum AS = 0, 2475 m 2 . Aufgrund der idealen Wärmeleitfähigkeit der Metallplatten 

liegen sowohl an AA als auch an AS jeweils die gleiche Temperatur T1 = 25 ◦ C bzw. T2 = 5 ◦ C 

vor. Es werden nur Wärmeströme senkrecht zu den Platten betrachtet. 

d 

l A 

T 1 

T 2 

l S 

A 

Die folgenden Aufgaben sind allgemein und zahlenmäßig für den stationären Fall 

zu bearbeiten: 

1. Welcher Wärmestrom wird durch die Fläche AA übertragen? 

2. Welcher Wärmestrom wird durch die Fläche AS übertragen? 

3. Welcher Wärmestrom wird insgesamt durch die Kontaktfläche A = AA +AS übertragen? 

Berechnen Sie daraus den thermischen Gesamtwiderstand Rges der Wandkonstruktion. 

� � 

4. Der Wärmestrom soll durch einen sogenannten Wärmedurchgangskoeffizienten U W 

m2K beschrieben werden, so dass der Wärmestrom aus der Gleichung ˙ Q = U · A · (T1 − T2) 

einfach berechnet werden kann. Bestimmen Sie U. 

5. Übrigens: Warum sind viele Isolationsmaterialien (zum Beispiel Styropor und Glaswolle) 

porös? Welchem Ersatzschaltbild von Wärmetransportwiderständen entspricht ein solches 

Material? 


P 

S 

P 

A P 

A A



Hausaufgabe 3 

3.1 Innere Wärmequellen: HTR-Brennelemente 

ω 

r 1 

λ 1 

λ 2 

r 2 

α 

T He 


THERMODYNAMIK 

Die Brennelemente in einem Hochtemperatur-Reaktor (HTR) sind Kugeln aus zwei Bestandteilen: 

Zunächst eine innere Kugel mit Radius r1, in der Wärme mit der homogenen Wärmequellendichte 

˙ω freigesetzt wird. Die innere Kugel ist umgeben von einer Kugelschale mit Außenradius 

r2, in der keine Wärme freigesetzt wird. Die Wärmeleitfähigkeiten von innerer Kugel 

(λ1) und äußerer Schale (λ2) sind bekannt. Beide Teile sind in idealem thermischem Kontakt. 

Die Kugel wird umströmt von Helium der Temperatur THe, wobei sich ein mittlerer Wärmeübergangskoeffizient 

α auf der Kugeloberfläche einstellt. 

Wir möchten den Temperaturverlauf in der Kugel für den stationären Betrieb berechnen. Dabei 

gehen wir davon aus, dass die Kugel nicht mit anderen Kugeln in Berührung steht, sondern frei 

im Raum schwebt, während sie von Helium umströmt wird. 

1. Welche Randbedingungen gelten für die Temperatur bei r = 0 und bei r = r2 (Randbedingung 

1. / 2. / 3. Art)? Wie lauten sie? 

2. Bestimmen Sie die Wärmedurchgangszahl U zwischen der Kontaktfläche Innenkugel/Schale 

und der Heliumströmung, bezogen auf die genannte Kontaktfläche. 

3. Bestimmen Sie die Temperatur im Zentrum der Kugel. 

4. Skizzieren Sie qualitativ den Temperaturverlauf über der Radialkoordinate r. 

(Qualitativ heißt: Nicht die absoluten Beträge der jeweiligen Größen sind entscheidend, 

sondern die eindeutige Erkennbarkeit, ob der Verlauf z.B. linear oder gekrümmt ist, ob 

Sprünge oder Knicke auftreten etc.) 

5. Wo tritt im Brennelement der stärkste Temperaturgradient auf? Warum? Weshalb ist 

diese Information für die Auslegung überhaupt von Interesse? 





Radius Innenkugel r1 = 25 mm 

Radius Außenschale r2 = 30 mm 

Wärmequellendichte Innenkugel ˙ω = 5,20 MW/m 3 

Wärmeleitfähigkeit Innenkugel λ1 = 90 W/(m K) 

Wärmeleitfähigkeit Außenschale λ2 = 50 W/(m K) 

Heliumtemperatur THe = 700 ◦ C 

Wärmebergangskoeffizient α = 150 W/(m 2 K) 



THERMODYNAMIK



Hausaufgabe 4 

4.1 Formfaktoren: Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit 

xxxx 

xxxxx 

T m 

r 2 

α i 

a 

r 1 

λ 1 

d 

λ 2 

xxxxx 

λ 3 

xxxxx xxxxx 

xxxx 

xxxx 

xxxx 

T ∞ 

α a 


THERMODYNAMIK 

Ein langes, zylindrisches Rohr wird von einer Flüssigkeit der mittleren Temperatur Tm durchströmt. 

Auf der Rohrinnenseite liegt der Wärmeübergangskoeffizient αi vor. Die Wärmeleitfähigkeit 

des Rohres hat den Wert λ1. Das Rohr ist von einem Profil quadratischer Außenkontur, 

Seitenlänge a, mit der Wärmeleitfähigkeit λ2 umhüllt. Auf den Außenflächen liegt jeweils eine 

weitere Isolationsschicht der Dicke d mit der Wärmeleitfähigkeit λ3. Auf der Außenseite ist der 

mittlere Wärmeübergangskoeffizient αa bekannt. Die Umgebungsluft hat die Temperatur T∞. 

Zwischen den einzelnen Bauteilen treten keine Kontaktwiderstände auf. 

Die Wärmeleitfähigkeit λ2 ist unbekannt. Aus Messungen kennen Sie aber den Verlustwärmestrom 

˙ Q ′ , den die Flüssigkeit im stationären Zustand pro Meter Rohrlänge an die Umgebung 

abgibt. 

Bestimmen Sie daraus die Wärmeleitfähigkeit λ2. 





mittl. Temp. Flüssigkeit Tm = 95 ◦ C 


Wärmeübergangskoeffizient innnen αi = 120 W/(m 2 K) 

Wärmeübergangskoeffizient außen αa = 10 W/(m 2 K) 

Wärmeleitfähigkeit zyl. Rohr λ1 = 52 W/(m K) 

Wärmeleitfähigkeit Außenplatten λ3 = 1,4 W/(m K) 

Verlustwärmestrom ˙ Q ′ = 110 W/m 

Innenradius zyl. Rohr r1 = 5,0 cm 

Außenradius zyl. Rohr r2 = 7,0 cm 

Kantenlänge a = 22 cm 

Dicke äußere Platten d = 3,0 cm 



THERMODYNAMIK



4.2 Der kritische Radius 


THERMODYNAMIK 

1. Beim Bau einer Prozessdampfleitung mit Nenndurchmesser = Innendurchmesser ≈ Außendurchmesser 

D = 60 cm wird überlegt, ob es sinnvoll ist, diese gegen Wärmeverluste zusätzlich 

zu isolieren, da das Phänomen ” kritischer Radius“ bekannt ist. Überprüfen Sie, ob die Maßnahme 

für gängige Isolationsmaterialien sinnvoll ist. Nehmen Sie an, dass auf der Außenseite der 

Leitung freie Konvektion mit einem Wärmeübergangskoeffizienten α = 10 W 

m 2 K auftritt. 

2. Die Wärmeabfuhr von einem kugelförmigen Druckbehälter soll maximiert werden. Daten 

des Tanks: Innenradius r1 = 55 cm, Wärmeleitfähigkeit des Wandmaterials λ = 52 W . Aus 

m K 

Festigkeitsgründen wird eine Mindestwandstärke von d = 1 cm verlangt. Wäre es für eine bessere 

Wärmeabfuhr sinnvoll, die Wand dicker zu machen, wenn der Wärmeübergangskoeffizient auf 

der Außenseite unverändert α = 8 W 

m2 beträgt? Bis zu welchem Außenradius? 

K 




Hausaufgabe 5 

5.1 Boilergeometrien 

xx 

xxx 

xxx 

xxx 

xxx 

xx 

xx 

xx 

xxx 

xx 

xx 

xxx 

xx 

xx 

xxx 

xxx 

xx 

xxx 

xxx 

xx 

xxx 

xxx 

xx 

xx 


THERMODYNAMIK 

Boiler werden dort eingesetzt, wo keine zentrale Wassererwärmung vorhanden ist. In dieser 

Aufgabe sollen die Wärmedämmeigenschaften verschiedener Boilergeometrien beurteilt werden. 

Nehmen Sie dazu an, dass das Wasser ideal gerührt ist! Vernachlässigen Sie außerdem die 

Wärmekapazität des Isolationsmaterials. Des Weiteren sei der thermische Kontakt zwischen 

Isolationsschicht und Wasser ideal. 

Folgende Geometrien stehen zu Verfügung: 

1. Quader 

2. Zylinder 

3. Kugel 

1. Berechnen Sie die fehlenden geometrischen Abmessungen der verschiedenen Geometrien 

(rz, hz, rk) unter folgenden Voraussetzungen: 

• Alle drei Körper haben dasselbe Volumen. 





THERMODYNAMIK 

• Die Grundflächen von Quader und Zylinder haben denselben Flächeninhalt. 

2. Stellen Sie jeweils die nötigen Wärmedurchgangszahlen zwischen der Innenwand und der 

Umgebung auf (Uq, Uz,M, Uz,P , Uk). Beim Zylinder ist es notwendig, zwei verschiedene 

U-Werte für die Isolierung an der Mantelfläche (Uz,M) und an der Plattengeometrie der 

Grundflächen (Uz,P ) aufzustellen! Beziehen Sie die U-Werte auf die Innenwand. 

3. Leiten Sie anhand einer globalen Energiebilanz eine Differentialgleichung für den zeitlichen 

Temperaturverlauf des Wassers her und lösen Sie diese. 

4. Wie lange dauert es, bis das ideal gerührte Wasser innerhalb der verschiedenen Boiler 

von einer Anfangstemperatur T0 auf einen Wert von T1 gesunken ist? Vergleichen Sie 

die zeitlichen Verläufe anhand eines quantitativen Diagramms. Welche Geometrie besitzt 

dementsprechend die beste Isolationseigenschaft? 

5. Führt eine Verstärkung der Isolation der einzelnen Geometrien zu einer verbesserten 

Wärmedämmung? 

6. Prüfen Sie anhand einer charakteristischen Kennzahl, ob die Annahme eines ideal gerührten 

Behälters gerechtfertig war! 


Wärmeübertragungskoeffizient α = 5,0 W 

m 2 K 

Dicke s = 5 mm 

Wärmeleitfähigkeit der Isolation λ = 0,1 W 

m K 

Kantenlänge des Quaders dq = 0,2 m 

Höhe des Quaders hq = 0,4 m 

Anfangstemperatur T0 = 65 ◦ C 

Endtemperatur T1 = 35 ◦ C 


Dichte von Wasser ρ = 998 

kg 

m3 Spez. Wärmekapazität von Wasser 

Wärmeleitfähigkeit von Wasser 

c 

λW 

= 

= 

4200 

0,654 

J 

kg K 

W 

m K 




5.2 Die Platte als Blockkapazität: Heizkesselwand 

Betrachtet wird eine Heizkesselwand aus Stahl mit 

der Wandstärke DSt = 10 mm, die auf der feuerungsseitigen 

Fläche mit einer dünnen Keramikschicht (DK = 

3 mm, λK = 1,2 W/(m K)) beschichtet ist, um diese 

vor den Einflüssen des korrosiven Verbrennungsgases 

zu schützen. Die andere Seite ist gegenüber der Umgebung 

ideal isoliert. Die Wand habe vor Feuerungsbeginn 

die Temperatur TSt(t = 0) = T0 = 27 ◦ C. 

Bei Beginn der Feuerung strömt das heiße Gas mit der 

Temperatur TG = 1027 ◦ C entlang der Wand und gibt 

Wärme über den konstanten Wärmeübergangskoeffizienten 

αi = 100 W/(m 2 K) an die Kesselwand ab. 


THERMODYNAMIK 


1. Bestimmen Sie die Wärmedurchgangszahl U vom Gas durch die Keramikschicht an die 

Innenfläche der Kesselwand! 

2. Berechnen Sie, unter Annahme einer vernachlässigbar geringen Wärmekapazität der Keramikschicht, 

die Zeit, die benötigt wird, um die Kesselwand auf TSt = 927 ◦ C aufzuheizen. 

3. Wie hoch ist die Temperatur TK,i der feuerungsseitigen Keramikfläche zu diesem Zeitpunkt? 

Zu Testzwecken wird die Heizkesselwand mit der Anfangstemperatur T0 für eine Zeitdauer von 

tT = 10 Minuten mit heißem Gas der Temperatur TT = 1550 ◦ C beaufschlagt. Innerhalb dieser 

Zeitspanne darf die Temperatur des Stahls die Temperatur Tmax = 1200 ◦ C nicht übersteigen. 

Der Wärmeübergangskoeffizient bleibe unverändert. 

4. Überprüfen Sie, ob die Dicke der Keramikschicht für diese Anforderung ausreichend ist, 

indem Sie die minimale Schichtdicke, die die Anforderung gerade noch erfüllt, berechnen. 

5. Skizzieren Sie qualitativ den Temperaturverlauf. 





Wärmeübergangskoeffizient αi = 100 W/(m 2 K) 

Dicke der Keramikschicht DK = 3 mm 

Dicke der Stahlwand DSt = 10 mm 

Heißgastemperatur TG = 1027 ◦ C 

Anfangstemperatur T0 = 27 ◦ C 

Temperatur der Kesselwand TSt = 927 ◦ C 

Wärmeleitfähigkeit der Keramik λK = 1,2 W/(m K) 

Wärmeleitfähigkeit des Stahls λSt = 60 W/(m K) 

spezifische Wärmekapazität des Stahls cSt = 430 J/(kg K) 

Dichte des Stahls ρSt = 7850 kg/m 3 

Testdaten: 

Testdauer tT = 10 min 

Heißgastemperatur TT = 1550 ◦ C 

maximal zulässige Temperatur Tmax = 1200 ◦ C 



THERMODYNAMIK



Hausaufgabe 6 

6.1 Thermometerfehler zweiter Art 


THERMODYNAMIK 

In einem Lüftungskanal wird mittels eines Thermometers die Temperatur der vorbeiströmenden 

Luft gemessen. Bei einer Temperatur der Kanalwände TW = 20 ◦ C zeigt das Thermometer 

einen Wert T = 3 ◦ C an. Wie groß ist die tatsächliche Lufttemperatur T∞? Gehen Sie von 

einem Emissionsgrad ɛ = 0,9 des Thermometers und einem Wärmeübergangskoeffizienten α = 

60 W/(m 2 K) aus. 

6.2 Das Prinzip des Strahlungsschutzschirms 

Betrachten Sie den Austausch thermischer Strahlung zwischen zwei parallel zueinander angeordneten 

Stahlwänden unterschiedlicher Temperatur (T1 = 400 K, T2 = 300 K). Die Wände 

dürfen als diffus-graue Strahler mit Emissionsgrad ɛSt = 0,8 betrachtet werden. 

T 1 

eSt eSt 

T 2 

Schutzschirm e ( n=2) 


1. Wie groß ist die Wärmestromdichte ˙q, wenn sich die Wärmestrahlung zwischen den beiden 

Wänden ungehindert ausbreiten kann? 

2. Wie groß ist die relative Änderung der Wärmestromdichte ˙q, wenn zwischen die beiden 

Wände ein Strahlungssschutzschirm aus 

a. Stahl (ɛSt = 0,8) 

b. Aluminium (ɛAl = 0,04) 




eingefügt wird? 

3. Berechnen Sie die Temperatur TS des Schutzschirms. 


THERMODYNAMIK 

4. Nun sollen weitere Strahlungsschutzschirme zwischen den Wänden installiert werden. Bestimmen 

Sie die relative Änderung der Wärmestromdichte als Funktion der Anzahl n der 

Strahlungsschutzschirme (bei jeweils gleichen Emissionsgraden für Platten und Schirme). 




Hausaufgabe 7 

7.1 Sichtbare Sonnenstrahlung 


THERMODYNAMIK 

Die Sonne ist näherungsweise ein schwarzer Strahler mit der Oberflächentemperatur T = 

5800 K. Berechnen Sie mit Hilfe der Schwarzkörperfunktion, welcher Anteil der von der Sonne 

emittierten Strahlungsenergie im Bereich des sichtbaren Lichts (0,38 – 0,78 µm) liegt. 

7.2 Wirkungsgrad einer Glühlampe 

Den Wirkungsgrad einer Glühlampe definiert man sinnvoller Weise als das Verhältnis der im 

sichtbaren Wellenlängenbereich emittierten Strahlung zur totalen Strahlungsintensität. Bestimmen 

Sie aus der Planck’schen Verteilung die Wirkungsgrade bei einer Temperatur der Glühwendel 

(diffus-grauer Strahler) von 2400 bzw. 3200 K. 

7.3 Emissions- und Absorptionsgrade von Glas 

Glas ist bekannt dafür, dass es für Infrarot- und UV-Strahlung alles andere als “durchsichtig” ist, 

sondern diese Strahlung weitgehend absorbiert. Nehmen Sie für eine Glasscheibe im Folgenden 

vereinfachend an, dass ɛλ = αλ = 0 im sichtbaren Bereich des Strahlungsspektrums, ansonsten 

ɛλ = αλ = 1. Der Reflexionsgrad soll für alle Wellenlängen verschwindend klein sein. 

Berechnen Sie 

1. Den Emissionsgrad einer Glasscheibe. 

2. Den Absorptionsgrad einer Glasscheibe für 

(a) Sonnenlicht. 

(b) Strahlung, die von einem Körper der Temperatur T = 300 K ausgeht. 

(Hinweis: Nehmen Sie für die Glasscheibe eine sinnvolle Temperatur an. Die Sonne können 

Sie als schwarzen Strahler der Temperatur T = 5800 K betrachten). 




7.4 Wärmepilz 


THERMODYNAMIK 

Wärmepilze eignen sich um in großen Räumen die nötige Heizleistung zu Verfügung zu stellen. 

Dabei ist Strahlung die dominierende Art der Wärmeübertragung. 

In dieser Aufgabe wird der Wärmepilz als kugelförmig mit dem Radius rW P modelliert. Dieser 

befinde sich in einem sehr großen Raum, der eine Wandtemperatur Tw aufweist. 

Eine sich im Raum befindende Person wird als aufrecht stehender Zylinder mit einem Radius von 

rP und einer Höhe von hP modelliert. Die Oberflächentemperatur TP der Person sei bekannt. 

Es darf näherungsweise angenommen werden, dass die Wärmestrahlung des Wärmepilzes die 

Person parallel erreicht. Darüber hinaus soll nur die Wärmestrahlung vom Wärmepilz auf die 

Person, allerdings nicht die Strahlung von der Person auf den Wärmepilz, berücksichtigt werden. 

Alle Strahler dürfen als diffus-graue Strahler betrachet werden. Rechnen Sie stationär. 

1. Bestimmen Sie den Wärmestrom ˙ QP,W zwischen Person und Wand. 

2. Welcher Wärmestrom ˙ QW P wird vom Wärmepilz abgestrahlt? 

3. Bestimmen Sie den Wärmestrom ˙ QW P,P , der vom Wärmepilz auf die Person übergeht. 

4. Welcher Netto-Wärmestrom ˙ QP wird insgesamt auf die Person übertragen? 


Oberflächentemperatur Wärmepilz TW P = 800 ◦ C 

Oberflächentemperatur Wand TW = 30 ◦ C 

Oberflächentemperatur Person (Zylinder) TP = 40 ◦ C 

Emissionsgrad Wärmepilz ɛW P = 0,75 − 

Emissionsgrad Person ɛP = 0,4 − 

Radius Wärmepilz rW P = 0,075 m 

Radius Person rP = 0,25 m 

Höhe Person hP = 1,50 m 

Abstand Wärmepilz - Person dW P,P = 5 m 




Hausaufgabe 8 

8.1 Durchströmtes Rohr als Wärmeübertrager 

Ähnlich wie beim Wärmeübertrager 

˙Q = U · A · ∆T2 − ∆T1 

ln(∆T2/∆T1) 


THERMODYNAMIK 

gilt für den von einem durchströmten Rohr an die Umgebung abgegebenen Verlustwärmestrom 

˙Q = U · M · ∆T0 − ∆TL 

ln(∆T0/∆TL) 

mit Temperaturdifferenzen ∆T0 ≡ Tm|x=0 − T∞, ∆TL ≡ Tm|x=L − T∞. M ist hier die 

Mantelfläche des Rohres (also die wärmeübertragende Fläche, auf die sich der U-Wert bezieht). 

Bestätigen Sie diese Beziehung, ausgehend von der Differenzialgleichung für die adiabate 

Mischtemperatur in einem durchströmten Rohr: 

dTm 

dx 

+ U 2π ra 

˙m c 

(Tm − T∞) = 0 , mit Randbedinung Tm(x = 0) = T0 

Kann man somit das durchströmte Rohr mit Wärmeverlust auch als Wärmeübertrager interpretieren? 

Wenn ja, welcher speziellen Bauform entspricht die Konfiguration? 

8.2 Nachrechnung Gegenstromwärmeübertrager 

Wir betrachten noch einmal den Doppelrohr-Gegenstrom-Wärmeübertrager aus Aufgabe 8.3. 

Welche Temperatur weist das Öl am Ende des Wärmeübertragers auf, wenn die Temperatur 

und der Massenstrom am Eintritt auf Th = 120 ◦ C bzw. ˙mh = 0,25 kg/s erhöht werden? (Alle 

anderen Parameter sollen unverändert bleiben.) 

1. Lösen Sie diese Aufgabe (Nachrechnung) mit Hilfe der Betriebscharakteristik 

2. Führen Sie nun diese Rechnung unter Zuhilfenahme der logarithmischen mittleren Temperaturdifferenz 

∆Tlog durch. Welche von beiden Methoden führt schneller zum Ziel? 

3. Ist bei einer weiteren Steigerung von Temperatur und/oder Massenstrom des Öls zu 

befürchten, dass das Kühlwasser zu sieden beginnt? 




Hausaufgabe 9 

9.1 Durchlauferhitzer 


THERMODYNAMIK 

Ein Durchlauferhitzer (DLE) besteht aus einem Rohr der Länge lDLE und dem Innen- bzw. 

Außenradius von ri bzw. ra, an das durch heißes Abgas eines Brenners konvektiv Wärme zur 

Wasseraufbereitung übertragen wird. Zwischen DLE und dem Warmwasserverbraucher sitzt ein 

freies Rohr, an dem konvektive Wärmeverluste an die Umgebung abgegeben werden (siehe 

Skizze). 

Der DLE soll dazu verwendet werden, Warmwasser der Temperatur T ′′ zu Verfügung zu stellen. 

Für die folgenden Aufgaben seien stationäre Bedingungen gegeben. 

1. Welche Wärmeleistung ˙ Qa muss dem DLE zugeführt werden, sodass am DLE-Austritt 

eine Temperatur von T ′′ gegeben ist? 

2. Auf welche Temperatur wird das Warmwasser im freien Rohr aufgrund auftretender 

Wärmeverluste abgekühlt? 

Definieren Sie weiter einen sinnvollen Wirkungsgrad für die Warmwassererzeugung und 

geben Sie diesen zahlenmäßig an. (Als Verluste werden ausschließlich Wärmeverluste im 

freien Rohr berücksichtigt). 

3. Um wieviel Prozent müsste die zugeführte Wärmeleistung erhöht werden, sodass am 

Warmwasserverbraucher tatsächlich eine Wassertemperatur von T ′′ gegeben ist? Wie groß 

ist dann die zugeführte Wärmeleistung ˙ Qb? 

4. Zeichnen Sie die dimensionsbehafteten Temperaturverläufe (Ta/b) über der Rohrachse im 

Bereich des freien Rohres sowohl für den Fall einer zugeführten Wärmeleistung von ˙ Qa 

als auch für den Fall der erhöhten zugeführten Wärmeleistung ˙ Qb. 

5. Nennen Sie Möglichkeiten, den Wirkungsgrad zu erhöhen. 





Kaltwassertemperatur T ′ = 8 ◦ C 

Warmwassertemperatur T ′′ = 45 ◦ C 


Wassermassenstrom 

Dichte Wasser 

˙m 

ρ 

= 

= 

0,125 

998 

kg 

s 

Spez. Wärmekapazität Wasser c = 4198 J 

kg K 

Innenradius ri = 2,0 cm 

Außenradius ra = 2,3 cm 

Länge Durchlauferhitzer lDLE = 0,3 m 

Länge freies Rohr lR = 3 m 

Wärmeübergangskoeffizient Rohr, außen αa = 5,1 W 

m 2 K 

Wärmeübergangskoeffizient Rohr, innen αi = 474 W 

m 2 K 

Wärmeleitfähigkeit Rohr λ = 41 W 

m K 


kg 

m 3 


THERMODYNAMIK



9.2 Ungemischter Kreuzstromwärmeübertrager 


THERMODYNAMIK 

Ein ungemischter Kreuzstromwärmeübertrager wird zur Kühlung von Rauchgasen verwendet. 

Massenstrom und Eintrittstemperatur des Kühlwassers bzw. der Rauchgase und der Wärmedurchgangswiderstand 

zwischen Rauchgasen und Kühlwasser seien bekannt. 

Der gesamte Wärmeübertrager ist als adiabat gegenüber der Umgebung zu behandeln. 

Führen Sie die Nachrechnung unter Zuhilfenahme der Betriebscharakteristik durch, bestimmen 

Sie die Austrittstemperaturen T ′ c und T ′ h von Kühlwasser und Rauchgas. 


Wärmedurchgangskoeffizient U = 100 W/(m 2 K) 

Übertragungsfläche A = 40 m 2 

Kühlwasser: 

Massenstrom ˙mc = 1,0 kg/s 

Eintrittstemperatur Tc = 35 ◦ C 

Spezifische Wärmekapazität cc = 4197 J/(kg K) 

Rauchgas: 

Massenstrom ˙mh = 1,5 kg/s 

Eintrittstemperatur Th = 250 ◦ C 

Spezifische Wärmekapazität ch = 1000 J/(kg K) 




Hausaufgabe 10 

10.1 Laminare Grenzschicht an einer dünnen Platte 


THERMODYNAMIK 

Wir betrachten den Wärmeübergang an einer längsangeströmten, dünnen Platte mit konstanter 

Oberflächentemperatur. Das strömende Fluid habe eine Freistromgeschwindigkeit u∞ = 5 m/s, 

eine konstante Temperatur und und konstante Stoffwerte (s. Tabelle). Wie in der Vorlesung 

gezeigt wurde, hängt der Wärmeübergangskoeffizient stark von der Grenzschichtdicke und dem 

Strömungsregime (laminar/turbulent) ab und variiert damit über der Länge der Platte. Deshalb 

werden lokal dimensionslose Kennzahlen definiert: 

Nux = αx · x 

λ 

Rex = u∞ · x 

ν 

wobei x den Abstand von der Vorderkante der angeströmten Platte bezeichnet. 

1. Wie groß ist die Prandtl-Zahl des Fluids? Ist folglich die thermische oder die hydrodynamische 

Grenzschicht dicker? 

2. Wie lang darf die überströmte Platte maximal sein, damit die Grenzschicht laminar bleibt? 

Gehen Sie vom schlimmsten Fall aus, nämlich dass der Umschlag bei einer kritischen 

Reynolds-Zahl von Rex,krit = 3,2 · 10 5 erfolgt. 

Wir betrachten eine Platte der Länge L = 60 cm. In den Arbeitsunterlagen findet sich folgende 

Korrelation für die lokale Nußelt-Zahl: 

Nux = 0,332 Re 1/2 

x Pr 1/3 f(Pr) für 10 < Rex < Rex,krit und 0,01 < Pr < 1000 

3. Bestimmen Sie mit dieser Korrelation den lokalen Wärmeübergangskoeffizienten αx an 

der Stelle x = 1 cm und an der Stelle x = L = 60 cm. Warum sind diese beiden so 

unterschiedlich? 

4. Angenommen, Sie wissen den Verlauf des lokalen Wärmeübergangskoeffizienten αx(x) 

über der Längskoordinate x. Stellen Sie eine Formel für den mittleren Wärmeübergangskoeffizienten 

α als Funktion von αx auf, sodass der auftretende Gesamtwärmestrom bestimmt 

werden kann gemäß ˙ Q = α · b · L · ∆T . (b: Breite der Platte) 

5. Bestimmen Sie eine Formel für den mittleren Wärmeübergangskoeffizienten α unter Verwendung 

der oben gegebenen Gleichung für Nux und dem Ergebnis von Teilaufgabe 4. 

Verifizieren Sie damit die Formel für die mittlere Nußelt-Zahl in den Arbeitsunterlagen. 

Bestimmen Sie den Wert von α und vergleichen Sie ihn mit den Werten aus Teilaufgabe 3. 





THERMODYNAMIK 

6. Welche Dicke haben die hydrodynamische und die thermische Grenzschicht am Ende der 

Platte? 

Stoffwerte des Fluids: 

Wärmeleitfähigkeit λ = 0,026 W/(m K) 

Dichte ρ = 1,18 kg/m 3 

Dynamische Viskosität η = 1,82 · 10 −5 Pa s 

spez. Wärmekapazität c = 1005 J/(kg K) 




10.2 Der hydraulische Durchmesser 


THERMODYNAMIK 

Zur Bestimmung des Wärmeübergangs in nicht kreisrunden Rohren wird ein hydraulischer 

Durchmesser DH definiert gemäß 

DH = 4 · A 

O 

= 4 · durchströmte Querschnittsfläche 

benetzter Umfang 

u · DH 

α · DH 

Dann kann mit Re = und Nu = gerechnet werden, als ob ein kreisförmiger 

ν 

λ 

Querschnitt mit Durchmesser DH vorliegen würde. 

Bestimmen Sie den hydraulischen Durchmesser 

1. eines Kreises mit Durchmesser D 

2. eines Quadrates mit Seitenlänge a 

3. eines Rechtecks mit Seitenlängen a und b 

4. eines schmalen Spaltes der Breite b 

5. eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge s 





11.1 Ähnlichkeitstheorie an der ebenen, dünnen Platte 

w • 

b 

T• 

l 


THERMODYNAMIK 

Zur Kühlung eines elektronischen Bauteils mit der konstanten Wandtemperatur TW,B wird 

ein Ventilator verwendet. Dabei wird die Oberseite der dünnen Platte von dem vom Ventilator 

erzeugten Luftstrom mit der Geschwindigkeit w∞,B = 10 m/s und der Temperatur T∞,B = 

303 K angeströmt. Das Bauteil hat eine Länge von lB = 10 mm und eine Breite von bB = 5 mm. 

1. Wie groß ist der mittlere Wärmeübergangskoeffizient αB zwischen der Luft und dem 

Bauteil? 

2. Bestimmen Sie die Temperatur des Bauteils TW,B, wenn die abgegebene Wärmeleistung 

˙QB = 25 mW beträgt! 

Für die Visualisierung der Strömung soll ein Modell im Maßstab 10:1 aufgebaut werden. Die 

für den Modellversuch zur Verfügung stehende Lufttemperatur beträgt T∞,M = 293 K. 

3. Welche Kriterien müssen generell erfüllt sein, damit die Ergebnisse aus dem Modellversuch 

übertragbar sind? 

4. Bestimmen Sie die für das Modell notwendige Geschwindigkeit w∞,M! 

5. Ermitteln Sie die notwendige Wandtemperatur des Modells TW,M, wenn die Wärmestromdichte 

beibehalten werden soll! 


Bauteil: 

Länge lB = 10 mm 

Breite bB = 5 mm 

Lufttemperatur T∞,B = 303 K 

Anströmgeschwindigkeit w∞,B = 10 m/s 

Wärmestrom ˙ QB = 25 mW 

Kin. Viskosität der Luft νB = 16,292 · 10 −6 m 2 /s 

Wärmeleitfähigkeit der Luft λB = 0,0264 W/(m K) 

Prandtlzahl der Luft Pr = 0,71 − 

Modell: 

Maßstab M = 10 : 1 − 

Lufttemperatur T∞,M = 293 K 

Kin. Viskosität der Luft νM = 15,354 · 10 −6 m 2 /s 

Wärmeleitfähigkeit der Luft λM = 0,0257 W/(m K) 


T W




12.1 Volumenausdehnungskoeffizient 


THERMODYNAMIK 

Zeigen Sie mithilfe des Gasgesetzes, dass für ein ideales Gas bei konstantem Druck der Volumenausdehnungskoeffizient 

β bestimmt werden kann zu 

β = 1 

T 

12.2 Freie und erzwungene Konvektion im Vergleich 

g λ S 

freie Konvektion erzwungene Konvektion 

Ta 

Τ S 

L 1 

T8 

r i 

r a 

Für einen Getränkeautomaten soll der Kondensator, in dem das Kühlmittel kondensiert und 

Wärme an die Umgebung abgibt, ausgelegt werden. Der Kondensator kann näherungsweise 

als ein horizontales Rohr mit kreisförmigem Querschnitt betrachtet werden. Es hat den Innenradius 

ri = 0,003 m und den Außenradius ra = 0,006 m und besitzt die Wärmeleitfähigkeit 

λs = 1,50 W/(m K). Da die benötigte Rohrlänge erst noch zu bestimmen ist, soll zunächst 

von einer Rohrlänge L1 = 1 m ausgegangen werden. Der thermische Widerstand zwischen der 

Rohrinnenwand und dem Kühlmittel, das darin bei konstanter Temperatur TS = 50,0 ◦ C kondensiert, 

kann vernachlässigt werden. Außerdem werden alle Einflüsse von thermischer Strahlung 

zunächst vernachlässigt. 

Berechnen Sie allgemein und zahlenmäßig für den stationären Fall: 

1. Bestimmen Sie den Wärmeleitwiderstand Rs,L1 zwischen Rohrinnenwand und Rohraußenwand 

für ein Rohr der Länge L1. 

2. Berechnen Sie den Wärmeübergangskoeffizienten αF K von der Rohraußenseite an die 

umgebende Luft. Gehen Sie von freier Konvektion und einer Oberflächentemperatur von 

Ta = 49,0 ◦ C auf der Rohraußenseite aus. Betrachten Sie die Luft als ideales Gas mit 


u 8 

λ S 

Τ S 

L 1 

T8 

r i 

r a




THERMODYNAMIK 

Temperatur T∞ = 21,0 ◦ C, Wärmeleitfähigkeit λ∞ = 0,026 W/(m K), kinematischer Viskosität 

ν∞ = 1,55 · 10 −5 m 2 /s, und einer Prandtl-Zahl von Pr∞ = 0,70. Die Erdbeschleunigung 

beträgt g = 9,81 m/s 2 . Berechnen Sie daraus den Wärmeübergangswiderstand 

Ra,F K,L1 zwischen Rohraußenwand und der umgebenden Luft für ein Rohr der Länge L1. 

3. Wie groß ist der thermische Gesamtwiderstand Rges,F K,L1 zwischen Kühlmittel und Umgebungsluft 

für ein Rohr der Länge L1? Wie lang muss das Rohr folglich sein, wenn ein 

Wärmestrom von ˙ Q = 200 W abgeführt werden soll? Verwenden Sie bei der Berechnung 

nicht die angegebene Temperatur Ta, da diese nur eine Schätzung darstellte, um den 

Wärmeübergangskoeffizienten zu berechnen. 

Da die berechnete Rohrlänge aus konstruktiven Gründen nicht realisiert werden kann, wird ein 

zusätzliches Gebläse installiert, das die Umgebungsluft mit einer Strömungsgeschwindigkeit von 

u∞ = 0,60 m/s senkrecht zur Rohrachse an dem Rohr vorbeiführt. 

4. Berechnen Sie den sich aufgrund der Zwangskonvektion einstellenden Wärmeübergangskoeffizienten 

auf der Rohraußenseite αZK. Entnehmen Sie alle benötigten (konstanten) 

Stoffwerte den vorhergehenden Teilaufgaben. Die Temperaturabhängigkeit der Prandtl- 

Zahl kann vernachlässigt werden. Berechnen Sie daraus den neuen Wärmeübergangswiderstand 

Ra,ZK,L1 zwischen Rohraußenwand und der umgebenden Luft für ein Rohr der 

Länge L1. 

5. Wie groß ist nun der thermische Gesamtwiderstand Rges,ZK,L1 zwischen Kühlmittel und 

Umgebungsluft für ein Rohr der Länge L1? Vernachlässigen Sie dafür den Einfluss der 

freien Konvektion. Wie lang muss in diesem Fall das Rohr sein (= LZK), um den bereits 

genannten Wärmestrom ˙ Q abzuführen? Wie groß ist der thermische Gesamtwiderstand 

Rges,ZK des Rohres mit dieser Länge? 

Folglich wird entschieden, das Ergebnis aus Teilaufgabe 5 als neue Rohrlänge zu wählen. Zum 

Schluss soll noch überprüft werden, ob die Annahme berechtigt war, dass Wärmestrahlung 

vernachlässigbar ist. 

6. Berechnen Sie den durch thermische Strahlung von der Rohroberfläche abgebenen Nettowärmestrom 

˙ QStr. Gehen Sie davon aus, dass die gesamte Rohroberfläche ein diffusgrauer 

Strahler mit dem Emissionsgrad ɛ = 0,24 und der Temperatur Ta = 49,0 ◦ C 

ist und im Strahlungsaustausch mit der sehr viel größeren Umgebung der Temperatur 

T∞ = 21,0 ◦ C steht. 





Kondensator: 

Innenradius ri = 0,003 m 

Außenradius ra = 0,006 m 

Wärmeleitfähigkeit λs = 1,50 W/(m K) 

für die Auslegung betrachtete Länge L1 = 1,00 m 

Emissionsgrad der äußeren Oberfläche ɛ = 0,24 – 

abzuführender Wärmestrom ˙ Q = 200 W 

Kühlmitteltemperatur TS = 50,0 ◦C Ta = 49,0 ◦C Äußere Oberflächentemperatur 

(Schätzung für freie Konvektion und 

thermische Strahlung) 

Umgebungsluft: 

Temperatur T∞ = 21,0 ◦ C 

Wärmeleitfähigkeit λ∞ = 0,026 W/(m K) 

Kinematische Viskosität ν∞ = 1,55·10 −5 m 2 /s 

Prandtl–Zahl 

Strömungsgeschwindigkeit bei erzwungener 

Konvektion 

Pr∞ 

u∞ 

= 

= 

0,70 

0,60 

– 

m/s 

Sonstiges: 

Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s 2 




THERMODYNAMIK




THERMODYNAMIK 

12.3 Wärmeübergangskoeffizienten am Durchlauferhitzer und am frei- 

en Rohr 

Zurück zum Durchlauferhitzer (DLE). In Hausaufgabe 9.1 wurden die Werte der Wärmeübergangskoeffizienten 

αi und αa auf der Rohrinnen- und außenseite vorgegeben. In dieser Aufgabe 

sollen diese Werte rechnerisch bestätigt werden. Zusätzliche nötige Größen und Stoffwerte entnehmen 

Sie bitte der gegebenen Tabelle. Luft kann als ideales Gas behandelt werden. 

1. Berechnen Sie den Wärmeübergangskoeffizieten αi auf der Rohrinnenseite. Welche Strömungsform 

liegt vor? 

2. Welche Art der Konvektion liegt auf der Rohraußenseite vor? 

Bestimmten Sie auch für die Rohraußenseite den Wärmeübergangskoeffizienten αa. Welche 

Strömungsform liegt hier vor? 






Wandtemperatur TW = 36 ◦ C 

Wassermassenstrom 

Dichte Wasser 

˙m 

ρ 

= 

= 

0,125 

998 

kg 

s 

kg 

m3 Spez. Wärmekapazität Wasser 

Innenradius 

c 

ri 

= 

= 

4198 

2,0 

J 

kg K 

cm 

Außenradius ra = 2,3 cm 

Länge DLE lDLE = 0,3 m 

Länge freies Rohr lR = 3 m 

Wärmeleitfähigkeit Rohr λR = 41 W 

Viskosität Wasser νW = −6 1 · 10 m2 

m K 

s 

W 

Wärmeleitfähigkeit Wasser λW = 0,6 m K 

Pr-Zahl Wasser PrW = 7 − 

Viskosität Luft 

Wärmeleitfähigkeit Luft 

Pr-Zahl Luft 

Erdbeschleunigung 

νL 

λL 

PrL 

g 

= 

= 

= 

= 

−5 1,55 · 10 

0,026 

0,7 

9,81 

m2 

s 

W 

m K 

− 

m 

s2 c○Lehrstuhl für Thermodynamik 60 


THERMODYNAMIK

Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

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