Transformation von Koordinaten und Höhen in der ... - AFIS-NRW

Transformationsrichtlinien Teil I __ Stand: 1999
dessen Nullpunkt im Ellipsoidmittelpunkt O liegt,
dessen Z-Achse in Richtung des ellipsoidischen Nordpols,
dessen X-Achse in Richtung des ellipsoidischen Nullmeridians,
dessen Y-Achse rechtwinklig zur Z- und X-Achse nach Osten zeigt.
B8 X, Y, Z ellipsoidisch B, L, h
Für die Umrechnung zwischen dem XYZ-System und dem BLh-System bestehen folgende Formeln:
X = (N + h) cos B cos L,
Y = (N + h) cos B sin L,
Z = ((1 - e 2 ) N + h) sin B.
Die Gleichungen für die Berechnung der kartesischen Koordinaten aus den ellipsoidischen sind
geschlossen und streng. Für die Umkehrung dagegen besteht nur eine iterative Lösung:
L = arctan (Y/X),
B = arctan {Z/(X 2 + Y 2 ) 1/2 ((1 - e 2 )N/(N + h)) -1 },
H = (X 2 + Y 2 ) 1/2 /cos B - N.
Der Wert h ist jeweils nach B zu berechnen. Da in der Regel h < N, konvergiert die Entwicklung sehr
rasch. Um Genauigkeitseinbußen aufgrund der iterativen Berechnung zu vermeiden, sind zwei
6FKUDQNHQ 1 XQG 2 ] % mm) für den Abbruch der Iterationen festzusetzen, so daß gilt
⏐ Bi - Bi-1⏐ … 1 und ⏐ hi - hi-1⏐ … 2.
Lassen sich die räumlichen kartesischen Koordinaten X, Y, Z eines Geländepunktes generell streng
in ellipsoidische Werte B, L, h umrechnen, so lassen sich die zweidimensionalen ellipsoidischen
Koordinaten B und L ohne zusätzliche Kenntnis der ellipsoidischen Höhe h nicht in dreidimensionale
Werte überführen. Dabei sei betont, daß die ellipsoidischen Höhen h keinerlei Bezug zum Schwerefeld
der Erde oder zu einem der geläufigen Höhensysteme haben, anders als die sonstigen
Höhen H der Landesvermessung (z.B. NN oder HN).
Hinsichtlich der Umrechnung der ellipsoidischen Koordinaten B und L in ebene konforme Koordinaten
wird auf die Transformationsansätze B1 bis B7 verwiesen.
B9 ⊗X, ⊗Y, ⊗Z ⊗B, ⊗L, ⊗h
Die differentiell kleinen Änderungen ⊗X, ⊗Y, ⊗Z der kartesischen Koordinaten im Punkt P, z.B.
dreidimensionale Zentrierelemente, werden mit Hilfe einer orthogonalen Drehmatrix in differentiell
kleine (in Meter ausgedrückte) Änderungen ⊗B, ⊗L, ⊗h ellipsoidischer Koordinaten umgerechnet.
In Matrizenschreibweise lauten die Änderungen:
Landesvermessungsamt Nordrhein-Westfalen Seite 33