Transformation von Koordinaten und Höhen in der ... - AFIS-NRW

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Transformationsrichtlinien Teil I __ Stand: 1999 D4 Vierparametertransformation (Ähnlichkeitsumformung) Mit den Vereinfachungen ey = ex = e und my = mx = m beschreiben die 4 Parameter der Ähnlichkeitsumformung folgende geometrische Operationen: 2 Translationen (yo, xo), 1 Rotation (e), 1 Maßstabsänderung (m). Damit lautet das Gleichungspaar der Ähnlichkeitsumformung: yi = sin e Â m Â Xi + cos e Â m Â Yi + yo, xi = cos e Â m Â Xi - sin e Â m Â Yi + xo. Die ursprünglichen geometrischen Parameter bilden die allgemeinen Parameter mit den Identitäten a1 = sin e Â m, a2 = cos e Â m, a3 = yo, a4 = cos e Â m, a5 =-sin e Â m, a6 = xo a1 = -a5 = o und a2 = a4 = a: 2 Verschiebungen: yo = a3, xo = a6, 1 Drehwinkel: e = arctan(o/a), 1 Maßstabsfaktor: m = (a 2 + o 2 ) 1/2 . Die Ähnlichkeitsumformung ist bei 2 Stützpunkten (= 4 Stützpunktkoordinaten) eindeutig bestimmt. Diese eindeutige Berechnung, bei der das Stützpunktfeld in einzelne Rechenachsen zerlegt wird, die durch zwei Stützpunkte festgelegt werden, ist heute nicht mehr zu empfehlen. Liegen mehr Stützpunkte vor, ergibt sich die Lösung mittels Ausgleichung. Dieser Lösungsansatz wurde erstmals von F.R. Helmert 1893 verwendet, seitdem wird diese Umformung auch als Helmert-Transformation bezeichnet. Heute steht diese Bezeichnung für jede Form der überbestimmten Transformation. Die Ähnlichkeitsumformung hat folgende geometrische Eigenschaften: a) bis d) wie bei der Affinumformung (D6), e) Winkelgrößen bleiben erhalten, f ) Streckenlängen ändern sich proportional, g) Quadrate werden in Quadrate abgebildet, h) Kreise werden in Kreise abgebildet. Somit bewirkt dieser Umformungsansatz keine Änderung des inneren Gefüges des Startsystems beim Übergang in das Zielsystem, woraus eben auch die Bezeichnung Ähnlichkeits- (bzw. konforme oder winkeltreue) Umformung resultiert. Landesvermessungsamt Nordrhein-Westfalen Seite 43
Transformationsrichtlinien Teil I __ Stand: 1999 D3 Dreiparametertransformation (Kongruenzumformung) Mit den Identitäten ey = ex = e und my = mx = 1 ergibt sich das Gleichungspaar der kongruenten Umformung: yi = sin e Â Xi + cos e Â Yi + yo, xi = cos e Â Xi - sin e Â Yi + xo. Über die allgemeinen Parameter a1 = sin e, a2 = cos e, a3 = yo, a4 = cos e, a5 =-sin e, a6 = xo, und die Identitäten a1 = -a5 = ok und a2 = a4 = ak verbleiben die ursprünglichen geometrischen Parameter: 2 Verschiebungen: yo = a3, xo = a6, 1 Drehwinkel: e = arctan (ok/ak). Die 3 Parameter der kongruenten Umformung sind bei (theoretisch) 3 vorgegebenen Stützpunktkoordinaten (= 1 ½ Stützpunkten) eindeutig bestimmt; liegen mehr Stützpunktkoordinaten vor, ist die Lösung überbestimmt. Die geometrischen Eigenschaften sind folgende: a) bis c) wie bei der Sechsparametertransformation (D6), d) Flächengrößen bleiben erhalten, e) Winkelgrößen bleiben erhalten, f ) Streckenlängen bleiben erhalten, g) Quadrate werden in gleiche Quadrate abgebildet, h) Kreise werden in gleiche Kreise abgebildet. Es bleiben also bei diesem Umformungsansatz alle Figuren in ihrer Form und Größe erhalten, sie werden lediglich in ihrer Lage verschoben und verdreht. Deshalb wird dieser Ansatz auch als kongruent bezeichnet. Landesvermessungsamt Nordrhein-Westfalen Seite 44
Seite 1: Transformation von Koordinaten und
Seite 4 und 5: Transformationsrichtlinien Teil I _
Seite 66 und 67: Geodätische Grundlagen Mathematisc
Seite 78 und 79: Durchschnittliche Höhen einiger eu
Seite 80 und 81: Anlage 9
Seite 82: Anlage 10 (NRW-Ost)

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