Transformation von Koordinaten und Höhen in der ... - AFIS-NRW

Transformationsrichtlinien Teil I __ Stand: 1999
4 Umformung ungleichartiger Lage- und Höhensysteme
4.1 Allgemeines
Die Umformung von Koordinaten und Höhen kann als Abbildung einer Punktmenge M des Startsystems
auf eine Punktmenge m des Zielsystems betrachtet werden. Für die Umformung werden
Formeln angesetzt, deren Parameter entweder vorab bekannt sind oder aus einem Vergleich der
alten und neuen Koordinaten und Höhen der Stützpunkte ermittelt werden. Die Transformationsansätze
unterscheiden sich in der Anzahl der gewählten Parameter und ihrer geometrischen Bedeutung.
Jede Umformung setzt voraus, daß die Koordinatensysteme vergleichbar sind, d.h. gleiche Verzerrungsverhältnisse
bestehen. Gegebenenfalls ist das Startsystem durch eine gleichartige Vortransformation
dem Zielsystem anzunähern.
Bei der eindeutigen Lösung der Umformung entspricht die Anzahl der zu bestimmenden Transformationsparameter
gerade der Anzahl der Stützpunktkoordinaten. Liegen mehr Stützpunktkoordinaten
vor als zur eindeutigen Berechnung notwendig sind, werden die Parameter durch Ausgleichung
so ermittelt, daß in der Regel die Quadratsumme der Restklaffungen in den Stützpunkten minimal
wird. Diese Minimierung nach der Methode der kleinsten Quadrate (auch L2-Norm-Methode genannt)
ist als Helmert-Transformation bekannt. Hierbei liefert jeder Stützpunkt pro Koordinate eine
Verbesserungsgleichung. Mit den berechneten Transformationsparametern können dann die Koordinaten
der Umformungspunkte (U-Punkte) vom Startsystem ins Zielsystem transformiert werden.
Neben der Minimierung der L2-Norm gewinnen heute die L1-Norm-Lösung (Robuste Schätzer) zur
Grobfehlersuche und die Lℜ-Norm-Lösung (Mini-Max-Methode) zur Minimierung der größten
Restklaffung an Bedeutung.
Der wesentliche Vorteil einer eindeutigen Umformung besteht darin, daß keine Restklaffungen in
den Stützpunkten vorkommen. Die Nachteile liegen darin, daß durch den Mangel an Überbestimmung
keinerlei Fehlerwerte und statistische Tests zur Grobfehlersuche berechnet werden können.
Will man auch bei Vorlage vieler Stützpunkte die überstimmte Umformung vermeiden, ist das
Umformungsgebiet in Stützpunktmaschen zu zerlegen. Für jede Masche werden die Transformationsparameter
eindeutig bestimmt und sodann die innerhalb der Masche liegenden Umformungspunkte
vom Startsystem ins Zielsystem umgeformt. Diese früher aus rechentechnischen Gründen
bevorzugte eindeutige Umformung ist heute die Ausnahme. In der Regel werden alle Stützpunkte
zur Berechnung der gewünschten Parameter mittels Ausgleichung genutzt (Helmert-
Transformation). Die Vorteile der Helmert-Transformation bestehen in der Möglichkeit zur Berechnung
von Restklaffungen. Hieraus können wiederum Genauigkeitsangaben und statistische Testgrößen
zwecks Untersuchung der Lageidentität und der Netzhomogenität berechnet werden.
Die allgemeine Lösung der überbestimmten Umformung erlaubt ein individuelles Gewicht für jede
Stützpunktkoordinate, z.B. abhängig von ihrem Koordinatenfehler. Es können theoretisch auch
Stützpunkte mit einem höheren Gewicht versehen werden (z.B. seit ihrer Bestimmung zweifelsfrei
unveränderte Punkte) gegenüber weniger sicher vermarkten Stützpunkten (z.B. wiederhergestellte
oder mutmaßlich veränderte Punkte). Zur Transformation von GPS-bestimmten Koordinaten steht
normalerweise die vollständige Varianz-Kovarinz-Matrix zur Verfügung. In den meisten Fällen setzt
man jedoch die Gewichtsmatrix P der Einheitsmatrix E gleich, weil die ursprüngliche Bestimmungsgeometrie
und -genauigkeit in der direkten Beobachtungsdarstellung verloren gegangen ist. Ebenso
bleiben bei 2D-Transformationen in der Regel mathematische Korrelationen zwischen den Koordinaten
unberücksichtigt, so daß P eine Diagonalmatrix ist. Trotz P = E kann man das Gewicht von
Landesvermessungsamt Nordrhein-Westfalen Seite 35