Transformation von Koordinaten und Höhen in der ... - AFIS-NRW

Transformationsrichtlinien Teil I __ Stand: 1999
D4 Vierparametertransformation
(Ähnlichkeitsumformung)
Mit den Vereinfachungen
ey = ex = e und my = mx = m
beschreiben die 4 Parameter der Ähnlichkeitsumformung folgende geometrische Operationen:
2 Translationen (yo, xo),
1 Rotation (e),
1 Maßstabsänderung (m).
Damit lautet das Gleichungspaar der Ähnlichkeitsumformung:
yi = sin e  m  Xi + cos e  m  Yi + yo,
xi = cos e  m  Xi - sin e  m  Yi + xo.
Die ursprünglichen geometrischen Parameter bilden die allgemeinen Parameter
mit den Identitäten
a1 = sin e  m, a2 = cos e  m, a3 = yo,
a4 = cos e  m, a5 =-sin e  m, a6 = xo
a1 = -a5 = o und a2 = a4 = a:
2 Verschiebungen: yo = a3, xo = a6,
1 Drehwinkel: e = arctan(o/a),
1 Maßstabsfaktor: m = (a 2 + o 2 ) 1/2 .
Die Ähnlichkeitsumformung ist bei 2 Stützpunkten (= 4 Stützpunktkoordinaten) eindeutig bestimmt.
Diese eindeutige Berechnung, bei der das Stützpunktfeld in einzelne Rechenachsen zerlegt wird,
die durch zwei Stützpunkte festgelegt werden, ist heute nicht mehr zu empfehlen. Liegen mehr
Stützpunkte vor, ergibt sich die Lösung mittels Ausgleichung. Dieser Lösungsansatz wurde erstmals
von F.R. Helmert 1893 verwendet, seitdem wird diese Umformung auch als Helmert-Transformation
bezeichnet. Heute steht diese Bezeichnung für jede Form der überbestimmten Transformation.
Die Ähnlichkeitsumformung hat folgende geometrische Eigenschaften:
a) bis d) wie bei der Affinumformung (D6),
e) Winkelgrößen bleiben erhalten,
f ) Streckenlängen ändern sich proportional,
g) Quadrate werden in Quadrate abgebildet,
h) Kreise werden in Kreise abgebildet.
Somit bewirkt dieser Umformungsansatz keine Änderung des inneren Gefüges des Startsystems
beim Übergang in das Zielsystem, woraus eben auch die Bezeichnung Ähnlichkeits- (bzw. konforme
oder winkeltreue) Umformung resultiert.
Landesvermessungsamt Nordrhein-Westfalen Seite 43