vsao Journal Nr. 5 - Oktober 2022

Fokus
Der polnisch-französische Mathematiker
Benoît Mandelbrot
(1924–2015) führte 1975
den Begriff «Fraktal» ein. Dieser
Begriff ist nicht mathematisch formal
definiert, sondern die Beschreibung eines
Phänomens. Er bezeichnet, etwas verkürzt
ausgedrückt, selbstähnliche geometrische
Objekte. Auf selbstähnliche Strukturen
war Mandelbrot zuerst in seinen
Arbeiten zu Strömungsmechanik und Informationstheorie
sowie in Untersuchungen
von Preisschwankungen der Finanzmärkte
in den 1950er- und 1960er-Jahren
gestossen. In den 70er-Jahren wandte er
sich dem Studium fraktaler mathematischer
Objekte zu.
Weder Linie noch Fläche
Der schwedische Mathematiker Helge von
Koch (1870–1924) beschrieb 1904 als erster
formal ein fraktales Objekt – die berühmte
Koch-Kurve – die er als Beispiel einer stetigen,
aber nirgends differenzierbaren
Kurve eingeführt hatte, also einer Kurve,
die ohne Absetzen des Bleistifts gezeichnet
werden kann, jedoch nirgends eine
Tangente besitzt. Sie ist die Grenzkurve,
die entsteht, indem man bei einer Anfangsstrecke
das mittlere Drittel durch die
beiden Schenkel des gleichseitigen Dreiecks
ersetzt, dessen Basis das ersetzte
Drittel ist, und dieses Vorgehen mit jedem
Abschnitt des entstehenden Streckenzugs
wiederholt. In Abbildung 2 sind die ersten
vier Wiederholungsschritte dargestellt.
Die Länge der Grenzkurve ist nicht endlich,
denn jede Wiederholung vergrössert
die Länge mit dem Faktor .
1918 definierte der deutsche Mathematiker
Felix Hausdorff (1868–1942) die
E 0
E 1
nach ihm benannte Hausdorff-Dimension.
Diese ordnet Kurven eine Zahl zu, die
angibt, wie stark eine Kurve die Umgebungen
um die Kurvenpunkte ausfüllt. Die
Hausdorff-Dimension der Koch-Kurve beträgt
≈1,261, damit ist die Koch-Kurve
also weder eine Linie noch eine Fläche.
Das bedeutet, dass der übliche Dimensionsbegriff,
nach dem Strecken und Geraden
die Dimension 1, Quadrate und Ebenen
die Dimension 2, Würfel und der
Raum die Dimension 3 haben, nicht fein
genug ist, um fraktale Objekte zu charakterisieren.
Die Hausdorff-Dimension ist auch für
Teilmengen des Raumes definiert, was für
die Anwendungen von Fraktalen in Medizin
und Technik von Bedeutung ist.
Beschränkte Flächen mit unendlich
langem Rand
Gleich wie die Koch-Kurve wird die Grenzkurve
der Wiederholung von Abbildung 3
definiert. Bei der Minkowski-Kurve werden
die beiden mittleren Viertel einer
E 0
E 1
E 2
E 3
Strecke durch drei Seiten der zugehörigen
Quadrate ersetzt. Ihre Hausdorff-Dimension
beträgt 1,5, das heisst, dass sie die
Umgebungen ihrer Punkte stärker ausfüllt
als die Koch-Kurve.
Abbildung 4: Die Koch-Schneeflocke
(Bild: Heiner Rohner)
Ersetzt man in einem gleichseitigen
Dreieck jede Seite durch die zugehörige
Koch-Kurve, entsteht die sogenannte
«Schneeflocke». Ihr Flächeninhalt ist endlich
– das 1,6-Fache des Flächeninhalts des
Startdreiecks – aber die Länge ihres Randes
ist
3
unendlich!
Kurve wird zur Fläche
Berühmt wurde Mandelbrot durch das in
Abbildung 1 dargestellte «Apfelmännchen»,
welches unendlich viele Verkleinerungen
von sich enthält, was mit Selbstähnlichkeit
bezeichnet wird. Für jeden Punkt C des Koordinatensystems
wird durch eine einfache
Vorschrift – eine von C abhängige quadratische
Funktion – eine Folge von Punkten
C 0
,C 1
,C 2
,… mit Startwert C 0
=(0,0) berechnet.
Bleibt diese Folge im Innern des Kreises mit
Zentrum (0, 0) und Radius 2, wird er schwarz
gefärbt. Andernfalls wird C in Abhängigkeit
des Zeitpunkts des Verlassens dieses Kreises
gefärbt.
Wie die Schneeflocke besitzt auch das
Apfelmännchen eine Begrenzungskurve
unendlicher Länge. Die Begrenzungskurve
mäandert so stark, dass ihre Hausdorff-Dimension
2, also die Dimension einer
Fläche, beträgt!
Abbildung 2: Die Koch-Kurve
(Bild: Heiner Rohner)
E 2
E 3
.
K
Abbildung 3: Die Minkowski-Kurve
(Bild: Heiner Rohner)
.
M
Fraktale in Natur und Technik
In der Natur sind fraktale Strukturen weit
verbreitet. Als Beispiele seien Farne, Flussläufe
oder Bäume (Abbildung 5) genannt.
Da es sich dabei um endliche Objekte handelt,
sind sie nur Annäherungen an Fraktale.
Das zeigt die Koch-Kurve. Deren Hausdorff-Dimension
beträgt bei jeder, nach
endlich vielen Wiederholungen erhaltenen,
Kurve 1, also gleich viel wie bei der
Startstrecke. Erst die Grenzkurve hat eine
höhere Dimension als 1.
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