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Tabelle 1:
Methoden der Analog/Digital-Umsetzung
Vergleichsverfahren mit schrittweiser
Annäherung
(Methode der sukzessiven Approximation)
Integrierendes Verfahren
(Dual-Slope-Methode)
Parallel-Wandler
(Flash-Verfahren)
Ladungs-Ausgleichsverfahren
(Charge-Balancing)
(= analog) durch den stetigen Winkelausschlag
des Meßgerätezeigers gegeben, die
zurückgelegte Wegstrecke wird dagegen in
Zahlenwertschritten angezeigt (= digital),
deren letzte Stelle mit der Wertigkeit von
0,1 km = 100 m je Ziffernsprung die höchstmögliche
Auflösung der Entfernungsangabe
bestimmt.
Im LC-Display einer modernen Anzeige
sehen wir den „Sprung“ von einer Ziffer
zur nächsten deutlicher. Zahlenwerte zwischen
den Sprüngen gibt es nicht! Das ist
durch die Meßanordnung vorgegeben,
„systembedingt“ – wie der Fachmann es
nennt.
Die größtmögliche Auflösung ist durch
den kleinstmöglichen Schritt (ebenfalls
systembedingt) festgelegt. Nur mit kleineren
Schritten (= einer Systemänderung)
– sprich: einer kleineren Einheit – wäre
eine größere Auflösung möglich.
In herkömmlichen Kilometerzählern ist der
Übergang von analog zu digital noch zu
erkennen, d. h., man sieht nebeneinander
die stetige Bewegung im Antrieb der Ziffernräder
und das ruckartige Abbilden der
Ziffern im Anzeigerahmen (durch Mitnehmerstifte
oder –nocken). Wir registrieren
deutlich die Umsetzung des analogen Signals
in ein digitales Signal.
Bei [2] liest man im Vorwort zum Thema
Umsetzen unter anderem: „ ...Etwas überspitzt
kann man sagen: Als der nackte
Affe von den Bäumen stieg und sprechen
lernte, erfand er den A/D-Wandler!
Wieso?...“
Tabelle 2: Zahlensysteme
Dezimalzahl Hexadezimal- Dualzahl
ziffer
0 0 0000
1 1 0001
2 2 0010
3 3 0011
4 4 0100
5 5 0101
6 6 0110
7 7 0111
8 8 1000
9 9 1001
10 A 1010
11 B 1011
12 C 1100
13 D 1101
14 E 1110
15 F 1111
Nun, man stelle sich vor, ein „Vormensch“
wollte einem anderen mitteilen, wie groß
oder lang ein bestimmter Gegenstand ist.
Hierfür benötigte er greifbare Vergleichsmaßstäbe.
Greifbar waren im Anfang die
Maßstäbe „Elle“, „Spanne“ und „Finger“.
Der Finger erschien dabei als die zunächst
kleinste Einheit. In dieser Einheit „zählte“
man Längen durch Vergleichen ab. Die
Einheit „Finger“ (lateinisch Digitus und
daraus abgeleitet 1 Digit) war nicht weiter
unterteilt.
■ Digitalisieren
Durch „Digitalisieren“ bekam man für die
Länge einen Zahlenwert (z. B. 14 Finger
lang). Man maß also die Länge in der Einheit
„Finger“. Messen heißt (auch heute
noch) Vergleichen mit einer festgelegten
Einheit.
War die tatsächliche Länge etwas länger
als genau 14 Finger, mußte man sich entscheiden:
zu 14 oder 15 Fingerlängen. Der
tatsächliche Meßwert läßt sich „systembedingt“
nur mit der Abweichung von plus/
minus einer Fingerlänge als kleinster Information
(= 1 Bit) der Zahl für die Länge
darstellen.
Das Bit entspricht dem Digit „Finger“ als
größtmögliche Auflösung beim Umsetzen
der analogen Länge in die digitale Angabe.
Eine größere Auflösung wäre erst mit einer
noch kleineren Einheit möglich. – Nebenbei:
Sie kennen diese Tatsache von Digitalmultimetern
in der Aussage „Meßwert
plus/minus 1 Digit“.
Nun aber zur eigentlichen Technik. Bild 4
zeigt die Übertragungskurve eines idealen
Quantisierers mit acht möglichen Ausgangszuständen.
In diesem Beispiel wird
nach dem BCD-Kode kodiert. Mit der Zuordnung
der neben die Zustände geschrieben
Kodeworte veranschaulicht das Bild
gleichzeitig die Funktion eines 3-Bit-A/D-
Umsetzers. Der analoge Eingangsspannungsbereich
in diesem Beispiel beträgt
0 bis +18 V.
Das Bild verdeutlicht eine Reihe von Begriffen:
So ist die Auflösung durch die Anzahl
der Ausgangszustände bestimmt. Hier
sind das 3 Bits, also ist die ganze Einrichtung
ein 3-Bit-Quantisierer.
Die Anzahl der Ausgangszustände eines
binärkodierten Quantisierers beträgt 2 n .
Der Exponent n ist hierbei durch die Anzahl
der Bits gegeben. Demnach bekommen wir
bei einem 8-Bit-Quantisierer genau 256, bei
einem 12-Bit-Quantisierer sogar 4096 Ausgangszustände.
Die Entscheidungspunkte oder Schwellenpegel
sind in der Anzahl um genau 1 kleiner
als die Anzahl der möglichen Ausgangszustände,
also (2 n – 1). Die Schwellenpegel
liegen in unserem Beispiel bei +1,25,
+3,75, +6,25, +10,0, +12,5, +15,0 und
Ausgangs-
Zustände Code
8 111
7
6
5
4
3
2
1
110
101
100
011
010
001
000
Quantum
Einsteiger
2,5 5,0 7,5 10 12,5 15 17,5 20
Eingangsspannung in V
Bild 4: Übertragungskurve eines idealisierten
3-Bit-A/D-Wandlers
+16,25 V. Bei einem linearen Quantisierer
müssen diese Entscheidungspunkte selbstverständlich
sehr präzise gesetzt sein, um
den analogen Bereich in korrekte Quantisierungswerte
unterteilen zu können.
Die Linie kennzeichnet die analogen Spannungswerte
genau in der Mitte eines jeden
Ausgangskodeworts. Anders ausgedrückt:
Die Spannungen der analogen Entscheidungspunkte
liegen genau in der Mitte
zwischen zwei der aufeinanderfolgenden
Mittelpunkte der Kodewörter.
Wir können so bestimmte Teilstücke des
analogen Eingangsbereichs von Spannungsdifferenzen
zwischen aneinanderliegenden
Entscheidungspunkten betrachten. Auf jedem
dieser Teilstücke gibt es eine Spanne
analoger Werte, innerhalb der dasselbe
Ausgangskodewort erzeugt wird. Diese
Spanne beträgt in unserem Beispiel 2,5 V
und heißt Quantisierungsmaß oder Quantum.
Rechnerisch bekommt man das Quantisierungsmaß
mit der folgenden Gleichung:
Quantum = Endbereich geteilt durch 2 n ,
in unserem Beispiel ergibt sich also ein
Quantisierungsmaß von:
Quantum = (20 V)/2 3 = (20 V)/8 = 2,5 V.
Zu erkennen ist: Das Quantisierungsmaß ist
die kleinste Spannungsdifferenz, die vom
Quantisierer unterschieden, also aufgelöst
werden kann. Das ist bei unserem 3-Bit-
Quantisierer natürlich eine nur grobe Auflösung.
Nehmen wir statt dessen einen 12-
Bit-Quantisierer, sieht es schon sehr viel
besser aus:
Quantum = (20 V)/2 12 = (20 V)/4060 =
0,00488 V = 4,88 mV.
Eine höhere Auflösung bekommt man demnach
mit höherer Anzahl der Bits im Quantisierer.
Literatur
[1] The ARRL Handbook for Radio Amateurs (1995),
72. Ausgabe, ISBN 0-87259-172-7
[2] Peltz, G.: Praxis der Analog- und Digitalwandler,
Grundlagen, Versuchs- und Anwendungsschaltungen.
Elektor-Verlag GmbH, Aachen, ISBN
3-921608-88-0
[3] Rohde, D., DL7IY: DDS1 – Computergesteuerte
Digital Direkt Synthesizer. FUNKAMATEUR 44
(1995), H. 7, S. 752-753, H. 8, S. 862-863
FA 11/95 • 1201