International Congress of Mathematicians

Analyse p-adique et Représentations Galoisiennes 145uniformisante de F, l'anneau Tl.p s'identifie à l'anneau de Robba TZ X ' : L'-Notons Q^ le 7?. x ^-module libre de rang 1 de base dx, solution du problèmeuniversel pour les dérivations continues en un sens évident. Les modules à connexionsur l'anneau 1Z- X ,L forment une catégorie artinienne. Si T> est un objet de cettecatégorie, on dit qu'il est unipotent si son semi-simplifié est trivial. On dit qu'ilest quasi-unipotent s'il existe une extension finie separable F de k((Xj) telle que lemodule à connexion sur TZp déduit de T> par extension des scalaires soit unipotent.Pour tout z dans l'aneeau des entiers de £tx K , il existe un unique endomorphismecontinu ip de TZ X: K 0 qui prolonge le Frobenius absolu sur K 0 et vérifietp(x) = x p +pz ; on appelle Frobenius un tel endomorphisme. Pour un tel ip, on noteencore ip : 0^ —t Qi^ l'application induite. Soit T> un module à connexionsur 1Z X: K 0 . Une structure de Frobenius sur T> consiste en la donnée d'un Frobeniusip sur 1Z X: K 0 et d'une application tp-semi-linéaire ip-v :T> —¥T> commutant à V.THéORèME (André, Kedlaya, Mebkhout ^). — Tout module à, connexion surTZX,K 0 qui admet une structure de Frobenius est quasi-unipotent.Avant de montrer comment Berger [Be2] déduit le théorème B de cet énoncé,rappelons quelques résultats de [FoOO], [Fo90] et [CC98] (cf. aussi [Co98]). Danstout ce qui suit, V est une représentation p-adique de GK de dimension finie h.3.2. — Soit FJQO le sous-corps de K engendré sur K par les racines de l'unité d'ordreune puissance de p. Posons HK = Gal(K/K^,) et T'K = GK/HK- En utilisantla théorie de Sen [Se80], on montre [FoOO] que l'union A d R(V) des sous-FJ^[[£]]-modules de type fini de (B d R ®Q P V) HK stables par F^ est un FJ 0O ((t))-espacevectoriel de dimension h et qu'il existe une unique connexionV:A dR (V)^A dR (V)®dt/tqui a la propriété que, pour tout sous-F^ff^-module de type fini Y stable par GK,tout entier r > 0 et tout y £ Y, il existe un sous-groupe ouvert T r^y de F tel que, siV(y) = Vo(y) ® dt/t, alors7(y) = exp(logx(7)-Vo)(y) (mod t r Y), pour tout 7 £ T r^y.Cette connexion est régulière : le F^ff^-module A^R(V) = (B^R ® V) nAdR(V) est un réseau de A d R(V) vérifiant V(Aj fl (F)) C A^R(V) ® dt/t. Ona D(ìR(V) = (A d R(Vj) TK . L'action de F^ est discrète sur A d R(V)y = o ; on endéduit que A d R(V)y = o = K^, ®K D d R(V) donc que V est de de Rham si et seulementsi le module à connexion A d R(V) est trivial. Ceci se produit si et seulements'il existe un réseau (nécessairement unique) A® R (V) de A d R(V) vérifiantV(A 0 dR(V))cA 0 dR(V)®dt.W Crew [Cr98] a suggéré que ce théorème pouvait être vrai ; il a été prouvé indépendammentpar André [An02], Mebkhout [Me02] et Kedlaya [KeOl]. Pour André comme pour Mebkhout, c'estun cas particulier d'un résultat plus général dont la preuve repose sur la théorie de Christol-Mebkhout [CM]. La preuve de Kedlaya est plus directe : elle utilise une classification à laDieudonné-Manin des modules munis d'un Frobenius pour se ramener à un résultat de Tsuzuki[Ts98]. Voir [CoOl] pour une étude comparative plus détaillée.