International Congress of Mathematicians

Théorie Ergodique et Géométrie Arithmétique. 199querons la relation avec la conséquence géométrique de la conjecture d'André-Oortprécédemment décrite.2. Equidistribution des points de petite hauteurExemple 2.1 On prend X = G TO , E n l'ensemble des racines n-ième de l'unité,E n est équidistribué pour la mesure uniforme sur le cercle unité |^. En utilisantl'irréductibilité du polynôme cyclotomique on voit que l'orbite sous Galois d'uneracine n-ième primitive de l'unité est aussi équidistribuée pour |^.Exemple 2.2 On prend X = F une courbe elliptique sur C et E n l'ensemble despoints de n torsion, alors E n est équidistribué pour la mesure de Harr normaliséesur F(C). Si F est défini sur un coprs de nombres K et E n'a pas de multiplicationcomplexe, par le théorème de l'image ouverte de Serre, pour tout nombre premier passez grand le groupe de Galois agit transitivement sur les points d'ordre p. On endéduit encore que les orbites sous Galois des points d'ordre p sont équidistribuéespour la mesure de Haar normalisée.La théorie d'Arakelov a permis de comprendre ces énoncés d'une manière bienplus générale. On montre [21] pour une variété arithmétique un théorème générald'équidistribution des orbites sous Galois de suite génériques de points dont lahauteur (à la Arakelov) tend vers 0. Les exemples précédents correspondent à dessuites de points de hauteurs nulles. Pour les variétés abéliennes on obtient avecSzpiro et Zhang le résultat suivant (qui donne des informations nouvelles mêmepour les points de torsion des courbes elliptiques à multiplication complexe):Théorème 2.3 [21] Soit A une variété abélienne sur un corps de nombres K. Onnote fiMP la hauteur de Néron-Tate sur les points algébriques de A (associée àun fibre inversible ample symétrique sur X). Soit x n une suite générique de pointsalgébriques de A telle que hNp(x n ) tend vers 0. Pour toute place à l'infini a l'orbitesous Galois de x n est équidistribuée pour la mesure de Haar normalisée dß a deA AC).L'analogue de cet énoncé pour G^ a été montré par Bilu [2] sans théoried'Arakelov. Une extension pour certaines variétés semi-abéliennes de ces résultatsa été obtenue par Chambert-Loir [6] par des méthodes Arakeloviennes. On peutaussi comprendre grâce aux travaux de Autissier [1] l'exemple 2.1 comme un casparticulier de théorème d'équidistribution vers la mesure d'équilibre d'un compactde capacité 1 de l'orbite sous Galois d'une suite de points entiers algébriques.On trouvera dans [25] comment on obtient la conjecture de Bogomolov enproduisant une contradiction sur les mesures limites de suites de mesures associéesà des orbites sous Galois de points de petite hauteur. Retenons l'énoncé suivant dûà l'auteur [22] pour les courbes de genre g > 2 dans leur jacobienne et étendu endimension arbitraire par Zhang [24]: