International Congress of Mathematicians

Sur les Algèbres Vertex Attachées aux Variétés Algébriques 527A x A —y A symétrique, ( 0 ) : Ax A —y A. On demande que (i) A(_i)Q(A) cO(A) et que l'action de A sur Q(A) et sur T(A) induite par (_i) coïncide avecl'action canonique; (ii) 0(A)(j)Q(A) = 0 (i = 0,1); O( 0 )-4 C Û(A), l'opérationT(A) x T(A) —• T(A) induite par ( 0 ) coïncide avec le crochet de Lie, et l'actioninduite T(A) x Q(A) —• Q(A) coïncide avec la dérivée de Lie; (iii) Pacccouplement(, ) : T(A) x Q(A) —y A induit par ^ coïncide avec l'accouplement canonique.Enfin, les propriétés (Algl) — (Alg3) doivent être vérifiées. Dans (Alg3) pour i = 1on interprète la partie de gauche comme n(x)(y(i)z).Soit T'(A) une algèbre de Lie dg concentrée en degrés —1,0, avec T^1(A)=T°(A) = T(A), d : T^1(A)—y T°(A) l'identité, le crochet [,]o,-i l'action adjointe.Soit Si'(A) : 0 —• A —• Q(A) —• Q(A)/9A —y 0 le complexe concentré endegrés —2,-1,0 avec les différentielles évidentes. Ce complexe est un module dgsur T'(A) (l'action de T°(A) est par la dérivée de Lie, la composante [,]_!,_! :T^1(A)x Q _1 (A) —• Q _2 (A) étant l'accouplement canonique, et la composante[,]-i,o étant définie par [T,UI] = i T (dw), où a) G Q(A)/9A est l'image de u; € Û(A),d : ^i\/ k —y ^A/k est ^a différentielle de de Rham, i T : ii 2 A, k —> &\/ k est laconvolution avec r). On peut exprimer les axiomes (Alg2) et (Alg3) en disant quel'on a une algèbre de Lie dg A' : 0 —y A —y A —y A/dA —• 0, concentréeen degrés —2,-1,0, extension de T'(A) par Q'(A) (considérée comme une sousalgèbrede Lie abélienne), telle que l'action de T'(A) sur Q'(A) induite coïncideavec celle décrite ci-dessus. Un morphisme g : A —y A' est une applicationfc-linéaire respectant les opérations (^ et les filtrations, qui induit l'identité surO(A), T( A). D'où la catégorie Alg A des A-algébroïdes vertex, qui est un groupoïde(chaque morphisme est un isomorphisme).2.5. Soit A comme dans 2.4. On définit la catégorie VertA dont les objetssont V £ Vert munies d'un isomorphisme de fc-algèbres A(V) ^> A, cet isomorphismeidentifiant les données classiques (T(V),Sï(V),d, (,)) correspondantes avecles données standardes (T(A),Sï(A),dDR,{,)) décrites dans 2.4. Les morphismessont les morphismes des algèbres vertex induisants l'identité sur les données classiques.La construction 2.2, 2.3 donne lieu au foncteur Alg : VertA —> Alg A, V >-¥A(V). Ce foncteur admet l'adjoint à gauche U : Alg A —> VertA, l'algèbre vertexUA étant appelée l'algèbre enveloppante d'un algébroïde vertex A. Pour chaqueA £ Alg A le morphisme d'adjonction A —y Alg(UA) est un isomorphisme.2.6. Le langage suivant est un peu plus explicite et est parfois commode.Appelons A-algébroïde vertex scindée un couple B = ((,),c), où (, ) : T(A) xT(A) —• A (resp. c : T(A) x T(A) —• 0(A)) est une application fc-bilinéairesymétrique (resp. antisymétrique). On demande que les propriétés (AlgScindl)-(AlgScind3) ci-dessous soient vérifiées.(AlgScindl) (arfir 1 ) - a(r,6r') - 6(ar,r') + a6(r,r') = ^r'(a)r(6).(AlgScind2) (T",C(T,T')) + (T',C(T,T")) = )+r'((r,r"))/2 + r"((r,r'))/2.