International Congress of Mathematicians

Analyse p-adique et Représentations Galoisiennes 147V est de hauteur finie. C'est Berger [Be02] qui a compris comment traiter le casgénéral : Choisissons un relèvement x dans l'anneau des entiers de £tK d'une unitformisante de EK- Si K' Q désigne le corps des fractions de W(k'), £ K s'identifieprécisément au sous-anneau £!tK, de l'anneau de Robba TZ X K 1 • Ce dernier nedépend pas du choix de x et nous le notons £^s; il contient t = log[e]. Si F estune extension finie de K contenue dans K, le corps F = (E s ) GaX ( K / LK^ est uneextension finie de EK et l'anneau £ r F a s'identifie à l'anneau noté TZp au §3.1.Rappelons (§1.2) que si u = log[e — 1], on a B st = B cris [u]. Les actions de tpet de Y'K s'étendent de façon évidente à £ T 'KK S , , à £]f£ T K\S/^\S [l/£] et à l'anneau £jf £^6 S [l/£][u]3des polynômes en « à coefficients dans £^s[l/t].Berger montre queKD r ,(V) = (££»[!/*] ® f DÌ(V)f« et D st (V) = (£ r^[l/t][u] ® f DÌ(V)f«(l'action de N sur D st (V) est la restriction de —d/du ® id D ±> V) ).3.6. - Posons D = D^s(V) = £ r K S [l/t] ® | Ft (F). En utilisant l'action de F*-comme au §3.4, on définit une connexion V : D —ï D ® dt/t qui commute à l'actionde tp. Cette connexion est régulière au sens qu'il existe un sous-£]^s-moduleD +de D, libre de rang h, stable par tp et vérifiant V(F+) C D + ® dt/t (prendreD + = £ r^9 ® J. D'(V)). On vérifie que le £]^s-modulelibre fl 1 ig admet d[e]4bli ,comme base. Mais dt/t = [e] -1 /td[é] et t n'est pas inversible dans £^s.On déduitalors facilement du théorème d'André-Kedlaya-Mebkhout que V est potentiellementsemi-stable si et seulement s'il existe un sous-£]^s-modulelibre D° de D, libre derang h, stable par tp et vérifiant V(F°) C D° ® dt.Il ne reste plus qu'à construire un tel D° lorsque V est de de Rham. Fixons unentier r Q > 1 suffisamment grand pour que DÎ 0 (V) contienne une base de D^(V)sur £ K et pour que x £ £r 0 . Pour tout r > r 0 le sous-anneau £^grde £^g= H XZ K'formé des X^»ez a n,x n vérifiantV« < 1, |a n |s n H- 0 si n H- +oo et a n (e r — 1)" H- 0 si n H- ^oof r' r' fest stable par F^ et contient £ Kr - Si D r = D r^9r(V) = £^gr® ± Dl(V), alorsD est la réunion croissante des D r et tp(D r ) c D r +i- L'application tp r induit unhomomorphisme de £^srdans FJ 0O ((t)) et un isomorphisme de FJ 0O ((t)) ® £r -i g D rsur A d R(V). L'application $ r : D r —t A d R(V) qui envoie a sur 1 ® a est injective.Soit A® R (V) le sous-FJ 00 ((t))-module de A d R(V) engendré par les sectionshorizontales. Pour tout r > r 0 , soit D® = {a £ D r \ $ s (a) £ A® R (V) pour tout s >r}. On afljc F° +1 et F 0 = U r > ro F° est un sous-£]^s-modulede D, stable par tpet vérifiant V(F°) C D° ® dt. Si V est de de Rham on déduit du fait que A® R (V)est un réseau de A d R(V) que F 0 est libre de rang h sur £^s.D'où le théorème B.