International Congress of Mathematicians

146 J.-M. Fontaine3.3. — Rappelons brièvement la théorie des (ip, F)-modules [F08O]. Soit Og 0 l'adhérencedans W(FR) de la sous-W(fc)-algèbre engendrée par [e] et l/([e] — 1). C'estun anneau de valuation discrète complet dont l'idéal maximal est engendré par p etdont le corps résiduel F 0 est le corps des séries formelles k((e — 1)) vu comme souscorpsfermé de FR. Notons 0~ nr le séparé complété pour la topologie p-adique del'union de toutes les sous-€>£ 0 -algèbres finies étales de Og 0 contenues dans W(FR).C'est un anneau de valuation discrète complet dont le corps résiduel est une clôtureseparable F s de F 0 . Son corps des fractions £ nr s'identifie à un sous-corps fermé ducorps F = W(FR)[l/p], stable par l'action de GK et par le Frobenius tp. Le corps£K = (£ nr ) Hli est une extension finie non ramifiée du corps des fractions de Og 0 .Son corps résiduel EK est une extension finie separable de F 0 ; le corps résiduel k'de EK est celui de K^.Alors, D(V) = (£ nr ®q p V) HK est un (ip,Y K)-module sur £K, i.e. un EKespacevectoriel de dimension finie D muni d'un Frobenius tp-semi-linéaire (que l'onnote encore ip) et d'une action semi-linéaire continue de F^ commutant à l'actionde ip ; ce ( de D tel que T>est le Og K -module engendré par tp(T>). La correspondance V H> D(V) définit uneéquivalence entre Rep Q (GK) et la catégorie des ( n °t° ns B^R le sous-anneau de Bformé des séries de ce type qui convergent dans Fj~ fi . L'application B^R —t B^R estinjective et permet d'identifier B^R à une sous-W(F)[l/p]-algèbre de B^R. Pourtout r e N, posons E' = £ nrn tp r (B^R) et, pour tout 6 £ E' , notons tp r (b)l'unique c £ Fj~ fi c Fj~ fi tel que tp r (c) = b. On & £ r r '' c £ r +i ; soit £" r >îl'union des £ rr. Alors £ K = (E nr >\) HK est un sous-corps dense de EK stable parip. On pose D'(V) = (£ nr * ®q p V) HK . On peut le calculer à partir de D(V) :tc'est l'union des sous-£^--espaces vectoriels de dimension finie de D(V) stables partp. Le résultat principal de [CC98] est que V est surconvergente, c'est-à-dire quel'application naturelle EK ® D* (V) —^ D(V) est un isomorphisme.Pour tout r G N, soit £ Kr = (£? r^) HK . Alors D\(V) = (£? r 't ® Qp V) HKt 'est aussi le plus grand sous-5^ r-module M de type fini de D(V) tel que tp(M) c4 jr+1 M. Pour r assez grand, l'application naturelle 4® f DÎ(V) -+ rt(V) estun isomorphisme. Lorsqu'il en est ainsi, on a tp r (£ K r ) c ^00[M] etA dR (V) = lfoo((*)) ® | Dl(V) et donc D dR (V) = (K^t)) ® | Dl(V)Y K .3.5. — Wach [Wa96] a montré comment calculer D st (V) à partir de D*(V) lorsquet